第02讲：一元二次函数 、方程和不等式-2023-2024学年高一数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第02讲：一元二次函数 、方程和不等式 【考点梳理】 考点一：不等式的性质应用 考点二：基本不等式求积的最大值 考点三：基本不等式求和的最小值 考点四：二次或者二次商式的最值问题 考点五：基本不等式“1”的妙用 考点六：条件等式求最值 考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 考点八：含参数的一元二次不等式的解法 考点九：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点十：一元二次不等式在实数上恒成立问题 考点十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点十二：一元二次不等式在某区间有解立问题 考点十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题 【知识梳理】 知识点一　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点三．基本不等式≤ 1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 知识点四：．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点五：．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识点六　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点七　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不等式的性质应用 1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·全国·高一期末）已知，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二：基本不等式求积的最大值 4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：基本不等式求和的最小值 7．（2024上·云南昆明·高一统考期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为2 D．若，则的最小值为4 8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 9．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 题型四：二次或者二次商式的最值问题 10．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）“”