14.3因式分解(4)—— 十字相乘法讲练课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(4)—— 十字相乘法 数学（RJ）版八年级上册 因式分解： (1)x2－4x＋4＝ 　(x－2)2　 ⁠； (2)x2－4＝ 　(x＋2)(x－2)　 ⁠； (3)2x2－8＝ 　2(x＋2)(x－2)　 ⁠； (4)x3－4x2＋4x＝ 　x(x－2)2　 ⁠． (x－2)2　 (x＋2)(x－2)　 2(x＋2)(x－2)　 x(x－2)2　 知识链接 ⁠ 1．十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 方法：首尾分解，交叉相乘再相加要等于中间项，成功之后横着写．如图． 新课学习 ⁠ x2＋(p＋q)x＋pq型多项式的因式分解 例1 分解因式： (1)x2＋7x＋10; (2)x2－8x＋12； (1)解：原式＝(x＋2)(x＋5)． (2)解：原式＝(x－6)(x－2)． (3)x2－x－6; (4)x2＋2x－8. (3)解：原式＝(x＋2)(x－3)． (4)解：原式＝(x＋4)(x－2)． 2.分解因式： (1)x2＋4x＋3; (2)x2－10x＋16； (1)解：原式＝(x＋1)(x＋3)． (2)解：原式＝(x－2)(x－8)． (3)x2－3x－10; (4)x2＋9x－10. (3)解：原式＝(x＋2)(x－5)． (4)解：原式＝(x＋10)(x－1)． ⁠ x2＋(p＋q)xy＋pqy2型多项式的因式分解 例2 分解因式：x2－2xy－8y2. 解：原式＝(x－4y)(x＋2y)． 3.分解因式：x2－5xy－6y2. 解：原式＝(x－6y)(x＋y)． ⁠ ax2＋bx＋c(a≠1)型多项式的因式分解 例3 分解因式：2x2－3x＋1. 解：原式＝(x－1)(2x－1)． 4.分解因式：2x2－5x－3. 解：原式＝(2x＋1)(x－3)． ⁠ 先提公因式，再用十字相乘法因式分解 例4 分解因式：2x2＋6x－36. 解：原式＝2(x2＋3x－18) ＝2(x－3)(x＋6)． 5.分解因式：－3x2＋3xy＋6y2. 解：原式＝－3(x2－xy－2y2) ＝－3(x＋y)(x－2y)． 1．分解因式： (1)x2＋7x＋12; (2)x2＋6x－7. (1)解：原式＝(x＋3)(x＋4)． (2)解：原式＝(x＋7)(x－1)． 基础巩固 2．分解因式： (1)x2－5x＋6; (2)x2－6x－27. (1)解：原式＝(x－2)(x－3)． (2)解：原式＝(x－9)(x＋3)． 3．分解因式： (1)b2＋ab－6a2; (2)x2－11xy－12y2. (1)解：原式＝(b＋3a)(b－2a)． (2)解：原式＝(x－12y)(x＋y)． 4．将下列各式分解因式． (1)－3x2＋6xy＋9y2； (1)解：原式＝－3(x2－2xy－3y2) ＝－3(x＋y)(x－3y)． (2)(x＋y)2－9(x＋y)＋14. (2)解：原式＝(x＋y－2)(x＋y－7)． 5．分解因式： (1)2x2＋x－3; (2)2x2－7x＋3. (1)解：原式＝(2x＋3)(x－1)． (2)解：原式＝(2x－1)(x－3)． 6．阅读理解阅读并解决问题： 材料1：在因式分解中，有一类形如x2＋(m＋n)x＋mn的多项式，我们可以把它分解成x2＋(m＋n)x＋mn＝(x＋m)(x＋n)．例如：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． 材料2：分解因式：(a＋b)2＋2(a＋b)＋1. 解：设a＋b＝x，则原式＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝(a＋b＋1)2.这样的解题方法叫做“换元法”． (1)运用上述方法分解因式： ①x2－6x＋8＝ 　(x－2)(x－4)　 ⁠； ②x2＋x－6＝ 　(x－2)(x＋3)　 ⁠； (x－2)(x－4)　 (x－2)(x＋3)　 (2)请用“换元法”进行因式分解： (x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4. 解：设x2－4x＋2＝y. 则原式＝y(y＋4)＋4 ＝y2＋4y＋4 ＝(y＋2)2 ＝(x2－4x＋2＋2)2 ＝[(x－2)2]2 ＝(x－2)4. ⁠杨辉三角 例 在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方(左右)两数的和．事实上，这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4…)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律．例如，此三角形中第3行