第08讲 正方形（3大考点+6种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第08讲 正方形 1.掌握正方形的性质和四边形是正方形的条件，经历探索四边形是正方形的条件的过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理地表达能力 2．通过实际生活的例证，加深对正方形的的认识，并以此激发学生的探索精神. 3．通过对正方形判定条件的探索学习，体会它的内在美和应用美. 一．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 二．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 三．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型一：根据正方形的性质计算 1．（2022下·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G． (1)求证：DE＝AF； (2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长． 2．（2023下·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图2，E为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 3．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，E是正方形边延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 4．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边、在坐标轴上，点的坐标为．点从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．    (1)的度数为_________，点的坐标为___________（用表示）； (2)在的运动过程中，直线的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线的解析式； (3)探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 题型二：根据正方形的性质证明 一、填空题 1．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）如图，四边形为矩形，，且，点为边上一个动点，以为边作正方形，当是为腰的等腰三角形时，该正方形边长为 ．    二、解答题 2．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知：四边形是正方形，点E、F分别在射线、射线上，，与交于点O．    (1)如图1，当点E、F分别在线段、上时，线段与线段有何数量关系和位置关系？写出你的结论； (2)如图2，点E在延长线上，点F在的延长线上，则（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论或说明理由； (3)在（2）的条件下，将线段沿平移至，连接．写出之间的数量关系，并证明 3．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．    【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图1若，，求． 4．（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．    (1)如图1，求证： ： (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 题型三：先证矩形再证正方形 1．如图所示，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：． (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形，并证明你的结论． 2．（2023下·江苏·八年级专题练习）在中，，、的平分线相交于点D，，，垂足为E、F． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求正方形的面积． 3．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，O为上一动点（不与A、C重合），以每秒2个单位的速度从A向C运动，过点O作直线，直线l与的平分线相交于点E，与的平分线相交于点F． (1)求证：； (2)t为何值时，四边形是矩形