第13讲 多项式的因式分解-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（苏科版）

第13讲 多项式的因式分解 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式 的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注： （1） 因式分解只针对 ，而不是针对单项式，是对这个 的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2、公因式 多项式的各项中都含有 的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 注： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 3、提公因式法 把多项式分解成两个因式的 的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 注： （1） 提公因式法分解因式实际上是逆用 律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 4、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的 ，即： 注： （1） 逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2） 平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 5、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 注： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 6、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 7、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点剖析 （因式分解） 例1：下列各式由左到右的变形中，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 变式1-1：根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    变式1-2：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) （由因式分解求参） 例2：将多项式进行因式分解得到，则分别是（    ） A． B． C． D． 变式2-1：多项式因式分解的结果是，则 ， 变式2-2：仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题， 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为， 得 化简得 整理得 于是有解得 因此另一个因式是，的值为21． 问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （提公因式法分解因式） 例3：多项式与多项式的公因式为（    ） A． B． C． D． 变式3-1：分解因式： = 变式3-2：把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． （平方差法分解因式） 例4：对多项式进行因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4-1：实数范围内因式分解∶ 变式4-2：因式分解： (1). (2). （完全平方公式法分解因式） 例5：如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 变式5-1：分解因式： ． 变式5-2：因式分解： (1)； (2)． （综合运用因式分解） 例6：已知，，则的值为（    ） A．57 B．120 C． D． 变式6-1：把因式分解的结果是 ． 变式6-2：因式分解： (1)