复习08求通项公式归类（九大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习08求通项公式归类 一、递推数列 1.概念：数列的连续若干项满足的等量关系称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列． 2.求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法． 二、数列递推关系的几种常见类型 1.公式法：形如或或 2.累加法：形如且 当时. 3.累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 4.倒数法：（构造等差数列）形如整式或分式 整式：两边同时除以 分式：两边同时取倒数 5.待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ②形如且 方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求若为常数,则为等差数列,从而求得数列的通项公式. 考点01观察法、周期数列 【方法点拨】先写出数列的前几项，观察发现规律，找到周期 【例1】若数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【例2】数列，，，，的一个通项公式是an=（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知数列满足且，则（    ） A．3 B． C．-2 D． 【变式1-2】已知一列数如此排列：，则它的一个通项公式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在首项为1的数列中，满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 考点02累加累乘法 【方法点拨】累加法：形如且， 当时. 累乘法：形如且， 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 【例3】已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ） A．16 B．128 C．32 D．64 【例4】已知数列满足：，则（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 【变式2-1】已知，则数列的通项公式是 ． 【变式2-2】在数列中，，且，求数列的通项公式． 【变式2-3】（1）已知数列满足，，求的通项． （2）数列中，，（n为正整数），求． 考点03证明等差等比数列 【方法点拨】1.若满足定值或定值，则数列为等差数列，则求出对应的首项即可求得通项公式； 2.若满足定值或定值，则数列为等比数列，则求出对应的首项即可求得通项公式； 【例5】已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 【例6】已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 【变式3-1】已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 【变式3-2】非零数列满足，且． (1)设，证明：数列是等差数列； (2)设，求的前项和． 【变式3-3】已知正项数列的前项积为，且满足．求证：数列为等比数列． 考点04待定系数法，取倒法 【方法点拨】1.形如为常数,: 可用“待定系数法”将原等式变形为,由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式; 2.分式为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解 【例7】已知数列满足，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【例8】已知数列，则数列的通项公式 ． 【变式4-1】（多选）设数列满足，（），则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．的前n项和 【变式4-2】已知数列满足，，则满足的最小正整数 ． 【变式4-3】数列满足且，则数列的通项公式是 ． 考点05同除法 【方法点拨】1.同除指数法：形如且 方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求 2.形如整式，两边同时除以 【例9】在数列中，，．求数列的通项公式. 【例10】已知数列满足，，则数列的通项公式为 【变式5-1】已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ． 【变式5-2】（多选）数列满足，若，则（    ） A． B． C．的前n项和为 D．的前n项和为 【变式5-3】已知数列满足， ，则 . 考点06公式法消 【方法点拨】用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 【例11】（多选）已知数列的前项和公式为，则（    ） A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【例12】（多选）已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【变式6-1】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-2】已知数列的前项和为，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【变