6.2平面向量的运算练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2平面向量的运算——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练 1.如图所示,向量,,,A,B,C在一条直线上,且,则( ) A. B. C. D. 2.中,点D满足：,则( ) A. B. C. D. 3.已知四边形ABCD中，，，，若直线MN与直线AC交于点P，则( ) A. B. C. D. 4.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.已知，，a，b的夹角为.如图，若，，且D为BC的中点，则的长度为( ) A. B. C.7 D.8 6.八卦是中国文化的基本哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中,给出下列结论： ①与的夹角为; ②; ③; ④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）. 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知点O是平面内任意一点，则“存在，使得”是“A，B，C三点共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.若向量,满足,则向量,一定满足的关系为( ) A. B.存在实数,使得 C.存在实数m,n,使得 D. 9.（多选）是边长为2的等边三角形，D为的中点.下列正确的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知O为的外心,且.若向量在向量上的投影向量为,则的值可能为( ) A. B. C. D. 11.已知边长为1的菱形ABCD中,角,,则________. 12.设平面上有四个互异的点A，B，C，D.若，则的形状一定是__________. 13.已知向量,满足,,,则_________. 14.如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G是AD,BC的三等分点.,设,. （1）用,表示,; （2）如果,用向量的方法证明:. 15.已知，是夹角为的单位向量，，. （1）若与垂直，求实数的值； （2）若（x，且），求的最小值. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意可得：, 即. 故选：B. 2.答案：C 解析：, , 故, 所以,故. 故选：C. 3.答案：B 解析：如图，由题意知四边形ABCD为平行四边形，且M，N分别是AB，AD的中点，又MN与AC交于点P，则，所以.故选B. 4.答案：B 解析：由已知得，是方向上的单位向量，记为，是方向上的单位向量，记为，设，根据平行四边形法则可知四边形AEQF是菱形，点P在的平分线上，故点P的轨迹过的内心，故选B. 5.答案：A 解析：由题得， . 故选A. 6.答案：B 解析：对于①,因为八边形ABCDEFGH为正八边形,所以, 所以与的夹角为,①错误; 对于②,,显然不成立,②错误; 对于③,,所以,,所以,③正确; 对于④,,向量在向量上的投影向量为,④正确, 故选：B. 7.答案：C 解析：充分性：由得， 故，则，故A，B，C三点共线，所以充分性成立， 必要性：若A，B，C三点共线，由共线向量定理可知， 从而，所以， 所以，所以必要性成立. 综上所述：”是“A，B，C三点共线”的充要条件. 故选：C. 8.答案：C 解析：,两边同平方得 ,, 对A,时,为任一向量,故A错误, 对B,若,时,此时不存在实数,使得,故B错误, 对于C,因为,当与至少一个为零向量时,此时 一定存在实数m,n,使得, 具体分析如下： 当,时,此时m为任意实数,, 当,时,此时n为任意实数,, 当,时,m,n为任意实数, 当,时,因为,则有,根据, 则,此时,共线,且同向,则存在实数使得（）, 令,其中m,n同号,即,即,则存在实数m,n,使得,故C正确, 对于D,当,时,,故D错误, 故选：C. 9.答案：AC 解析：对于A：，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确； 对于D：，D错误， 故选：AC. 10.答案：BCD 解析：因为,所以,即, 又因为为的外心,则, 所以,,, 则,即, 且O为斜边BC的中点,过A作BC的垂线AQ,垂足为Q. 因为在上的投影向量为, 所以在上的投影向量为. 当时,点Q与点O重合,则,,; 当时,如图1,; 当时,如图2,. 所以, 因为,所以当时,取得最小值,且最小值为. 当时,,当时,. 故的取值范围是. 故选:BCD 11.答案： 解析：由边长为1的菱形ABCD中,角,, 可得,,, 则 , 故答案为:. 12.答案：等腰三角形 解析： ，，是等腰三角形. 13.答案： 解析：由可得,,即,解得：, 所以. 故答案为：. 14.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析:（1）由题意, , ; （2）由（1）得,