6.3平面向量基本定理及坐标表示练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练 1.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 2.如图,点D为的边AC上靠近点C的三等分点,,设,,则( ) A. B. C. D. 3.下面说法中，正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使成立的实数对一定是唯一的( ) A.②④ B.②③④ C.①③ D. ①③④ 4.设D，E分别是的边AB，BC上的点，，.若（，为实数），则的值是( ) A. B. C. D. 5.已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数m的值为( ). A.-4 B.12 C.-1 D.1 6.已知平面向量,则在方向上的投影向量是( ) A. B. C. D. 7.设，，且，若向量c满足，则的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知向量a，b满足，，若，则的最小值为( ) A. B. C.24 D.26 9.（多选）已知向量，，则( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则a与b的夹角为 10.（多选）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D.在方向上的投影向量长为 11.如图,在中,D为AB的中点,,若,则______. 12.已知向量,且,则实数__________. 13.已知向量，（O为坐标原点），设M是直线上的一点，那么的最小值是__________. 14.在平面内给定三个向量，，. （1）求满足的实数m，n的值； （2）若向量d满足，且，求向量d的坐标. 15.已知向量，. （1）求与a平行的单位向量c； （2）设，，若存在，使得成立，求实数k的取值范围. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为，所以，得，所以.故选D. 2.答案：A 解析:因为点D为的边AC上靠近点C的三等分点,则, 所以,, 因为,所以,. 故选:A. 3.答案： B 解析：根据平面向量基本定理知： ①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，故错； ②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确； ③零向量不可作为基底中的向量，正确； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使成立的实数对一定是唯一的，根据平面向量基本定理可知正确．故选：B． 4.答案：A 解析：由题意，如图，，， . 又（，为实数），，， ，故选A. 5.答案：D 解析：由得，，或， ，，从而. 故选：D. 6.答案：A 解析：在方向上的投影为, 又方向上的单位向量为, 故在方向上的投影向量是, 故选：A. 7.答案：B 解析：如图，设，，，，连接AD，BD，则由可知四边形OADB为矩形，则. 由，可得，连接CD，则，所以点C在以点D为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为. 8.答案：D 解析：建立如图所示直角坐标系，其中，， 则令，，， 设，则，， ，， ， 问题等价于当点M在线段上运动时，求的最小值， 设点关于的对称点为， 则，解得， ， 当且仅当M为直线OD与线段AB的交点时取得最小值. 这时由，得，符合题意. 故选D. 9.答案：BC 解析：A项，若，则，即，故A项错误；B项，若，则，即，，故B项正确；C项，若，则，所以，故C项正确；D项，，则，，，，所以a与b的夹角不是，故D项错误.故选BC. 10.答案：BCD 解析：因为是边长为2的等边三角形， E是AB上的点，且， 所以以E为坐标原点，EC、AB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如下图： 则，，． 又因为，即D为边AC上的一个靠近C的三等分点，所以． 设，则，而， 由D,O,B三点共线得， 解得，即，因此O是EC的中点，因此B正确． 又因为，，所以，因此A不正确； 又因为，，， 所以，因此，即C正确； 又因为，， 所以在方向上的投影向量长为，因此D正确． 故选BCD． 11.答案： 解析: , 所以. 故答案为:. 12.答案：-1 解析：由题意得,, 因为,所以,解得, 13.答案：-8 解析：由题意，得，.设，则，，.当时，取得最小值-8. 14.（1）答案：， 解析：由已知条件以及，可得. 解得，. （2）答案：或 解析：，设向量，则. ，， 解得或 向量d的坐标为或. 15.（1）答案：或 解析：设，根据题意得 解得或 或. （2）答案： 解析：，，. ，. ，， .问题转化为关于t的一元二次方程在内有解. 令，当，即时， ，方程在内无解. 当，即