第06讲 解三角形（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第06讲 解三角形 考点1： 正弦定理 正弦定理：在△ABC中，。 注明： 正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三内角和为180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)面积公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。 sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin 使用正弦定理解三角形共有三种题型： 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例如： 题型3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看 方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。 考点2：余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA cosA= b2=a2+c2﹣2accosB cosB= c2=a2+b2﹣2abcosC cosC= 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三内角和为180°； (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 (3)面积公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。 使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型： 题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形 题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。 题型3 判断三角形的形状 结论：根据余弦定理，当a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。 判断三角形形状的方法： (1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。 (2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。 考点3：正余弦定理在实际中的应用 求 距离 两点间不可通又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 求 高度 底部可达 底部不可达 题型1 计算高度 题型2 计算距离 题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计 注意：实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。 考点4：其他常见结论 1.三角形内切圆的半径：， 特别地， 2.三角学中的射影定理： 在△ABC 中，，… 3.两内角与其正弦值： 在△ABC 中，， 【题型1 三角形的解的个数问题】 【典例1】在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式1-1】在中，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【变式1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2 利用正弦定理解三角形】 【典例2】在中，角，，所对的边分别为，，． ，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，已知，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，则角与角的关系为 A．                  B． C． D． 【变式2-3】在△ABC中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型3 利用余弦定理解三角形】 【典例3】在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【变式3-2】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C．