专题05 数列 第三讲 数列与不等关系（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

专题05 数列 第三讲 数列与不等关系 01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧） 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法 考点一 作差法与先求和再放缩 命题点1 并项求和 命题点2 裂项求和 命题点3 错位相减求和 考点二 先放缩再求和 命题点1由累加法及裂项求和 命题点2 由累乘法及裂项求和 考点三 恒成立问题 04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升） 02考情分析·解密高考 数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列与不等关系经常在考题中出现。 高考要求：证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩；数列中的不等式问题需要掌握常见的三种方法：（1）分离参数法，（2）单调性法，（3）最值（有界性）法。 考点 考向 考题 数列 证明数列不等式 2023年新课标全国Ⅱ卷T18，2022新高考全国I卷·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9 考点一 作差法与利用求和结论进行放缩 命题点1 并项求和 典例01 【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 典例02 (2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 对于分段数列求和需要对n分奇偶性讨论，证明数列不等式可以通过作差法进行证明。 命题点2 裂项相消求和 典例01 (2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 命题点3 错位相减求和 典例01 （2022·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：． 从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答. 预计2024年高考数列与不等关系仍会从作差法与利用求和结论进行放缩方向进行命制. 1．（2023秋·高三校考）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（     ） A． B．数列为递增数列 C． D．数列的前n项和为，则 2．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 考点二 先放缩再求和 命题点一 由累加法及裂项求和 典例01 （2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（  ） A． B． C． D． 命题点二 由累乘法及裂项求和 典例01 （2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（  ） A． B． C． D． （1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点； （2）注意检验是否符合 预计2024年高考数列与不等关系仍会从先放缩再求和方向进行命制 1．(2023·盐城质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：<Tn<. 2．（2023秋·高三校考）设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 考点三 恒成立问题 典例01 （2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 典例02 (2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 预计2024年高考数列与不等关系仍会从恒成立问题方向进行命制. 1.（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 2.（2022·重庆）数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围． （★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升） A·新题速递 1．（2023•甲卷（理）改编）已知数列中，，设为前项和，． 若数列的前项和，则若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．