13.4 课题学习—最短路径问题（学案）2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 ·13.4 课题学习—最短路径问题· 学案 班级： 课时： 成绩： 1、 学习目标 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题． 2．在探究最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想． 2、 知识构建 【自主学习】 1.海盗寻宝有三条路可选择，选走哪条路最近？理由是什么？ 2.将军饮马：如图，将军从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．将军到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 【合作探究】 1.你能把“将军饮马”的问题抽象为数学问题吗？ 2.如图，点A，B在直线l异侧，在l上求一点C，使得AC+CB最小. 3. 如图，点A，B在直线l同侧. （1） 在l上求一点C，使得AC+CB最短. （2）你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 3、 层级练习 【应用迁移 巩固提高】 1.如图牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径. 2.架桥问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 3.如图，点P在∠AOB内部，问如何在射线OA、OB上分别找点C、D，使PC+CD+DP之和最小？ 【随堂练习 巩固新知】 1．如图，小明到小丽家有四条路，其中路程最短的是( ) A． ① B．② C．③ D．④ 2．如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是（ ） A．OA B．OB C．OC D．OD 3.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） 4. 如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AD = 4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB = ∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____． 5. 如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD = 6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为____． 【当堂检测 及时反馈】 1.（2020春•汉阳区期中）点P为直线l外一点，点A，B， C为直线l上三点，PA = 3 cm，PB = 4 cm，PC = 5 cm，则点P到直线l的距离（　　） A．等于 4 cm B．等于 3 cm C．小于 3 cm D．不大于 3 cm 2.（2022秋•浦北县期末）如图，等边△ABC的边长为 8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF = 4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．45° 3. 如图，四边形ABCD中，∠C = 50°，∠B = ∠D = 90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 4.（2022秋•武汉期中）如图，A、B是直线CD外两定点，P为直线CD上一动点，当PB-PA最大时，∠BPC = 40°．此时∠APC的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．140° 5.（2020春•和平区期末）如图，若∠MON = 42°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，则∠APB的度数为　 　． 6.（2020秋•双流区校级月考）如图，∠ABC = 30°，点D是∠ABC内的一点，且DB = 9，若点E，F分别是射线BA，BC上异于点B的动点，则△DEF的周长的最小值是　 　． 7.（2022秋•忻州期末）如图，在△ABC中，AB = AC，BC = 4，S△ABC = 12，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且FD⊥AB．若点P为线段DF上一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是　　． 8.（2022秋•梁子湖区期末）如图，∠AOB = 30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP = α，∠ONQ = β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系是　 　． 9.如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）． （1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建