12.3.1角的平分线的性质（学案）2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章 全等三角形 ·12.3角平分线的性质· 第一课时 角平分线的性质 学案 班级： 课时： 成绩： 1、 学习目标 1.会用尺规作已知角的平分线. 2.能证明角的平分线的性质. 3.能用角的平分线的性质进行推理论证. 2、 知识构建 【自主学习】 1.从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的 线. 2.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 . 3.如图， 在不对折或用量角器测量的情况下，能将这个角分成两个相等的角吗？ 【合作探究】 1.如图，是一个平分角的仪器，其中AB = AD，BC = DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ 2.结合上面所探究出的分角仪的工作原理，请用圆规和直尺画出∠AOB的平分线. 3.在刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你有什么发现？试着证明你的猜想. 4.证明一个几何命题的步骤： （1）明确命题中的 和 ； （2）根据题意，画出 ，并用符号标志已知和求证； （3）经过分析，找到由已知推出要证的结论的途径，写出 过程. 5.角的平分线的性质： . 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ . 3、 层级练习 【应用迁移 巩固提高】 1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB = FC. 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等. 【随堂练习 巩固新知】 1.（2022春•兴宾区期中）如图，∠BOP =∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　） A．PD = PE B．OD = OE C．∠DPO =∠EPO D．PD = OD 2.（2022秋•衡水期中）如图，∠B =∠D = 90゜，根据角平分线性质填空： （1）若∠1 =∠2，则 = ． （2）若∠3 =∠4，则 = ． 3.（2022秋•宁德期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA = 2，则PQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，BC = 8 cm，BD = 5 cm，求点D到直线AB的距离. 5.（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为 21 cm2，AB = 8 cm，AC = 6 cm，则DE的长为　 　cm． 【当堂检测 及时反馈】 1.（2022秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B =（　　） A．40° B．30° C．25° D．22.5° 2.（2022秋•淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP = 5，若点Q是射线OB上一点，OQ = 4，则△ODQ的面积是（　　） A．4 B．5 C．10 D．20 3.（2022秋•无棣县期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是 60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：7：4 D．6：7：8 4.（2022•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD = 90°，BD平分∠ABC，AB = 6，BC = 9，CD = 4，则四边形ABCD的面积是（　　） A．24 B．30 C．36 D．42 5.（2022秋•三台县期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD = ED；②AC+BE = AB；③∠BDE =∠BAC；④BE = DE；⑤S△