作业(一)　空间向量及其运算-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

第一部分　温故知新 　　　空间向量及其运算 1.共线向量定理、共面向量定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 3.空间向量的运算 (1)空间向量的运算、运算律及其几何意义与平面向量的运算类似. (2)空间向量运算的坐标表示 ①空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 ②空间向量常用结论的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 结论 坐标表示 共线 a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝＝；|b|＝＝ 夹角 cos〈a，b〉＝＝ ③空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝ . 4.空间向量共线、共面的结论 (1)证明空间三点A，B，P共线：①＝λ；②＝＋λ；③＝x＋y，其中x＋y＝1.(O为空间中不与A，B，P重合的任意一点) (2)证明空间四点A，B，P，M共面：①＝x＋y；②＝＋x＋y；③＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥(或∥或∥).(O为空间中不与A，B，P，M重合的任意一点) 1.(多选)如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，下列向量相等的是(　　) A.与　 B.与 C.与 D.与 2.如果A(1，5，－1)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)三点共线，那么a－b＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2023·北京高二期中)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝(　　) A. B.－6 C.6 D.1 4.(2023·山东烟台高二期中)已知O为空间中任意一点，A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，若2＝x＋＋，则实数x的值为________. 1.(2023·河南郑州中学月考)如图所示，在三棱锥O­ABC中，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则＝(　　) A.a＋b－c B.－a－b＋c C.a－b－c D.－a＋b＋c 2.(多选)如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，3，…，16)是上、下底面上除A，B两点以外其余的十六个点，则·的值可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2023·广东佛山南海中学月考)已知空间向量a＝(2，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A. B.(2，－1，2) C. D.(1，－2，1) 4.(多选)(2023·安徽合肥八中高二期中)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，P为空间中一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A.当λ＝1时，点P在棱BB1上 B.当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C.当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D.当λ＝μ时，点P在线段BC1上 5.(2023·广东肇庆鼎湖中学月考)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是侧面ADD1A1上的一个动点(包括边界)，满足·＝1，则与的夹角的最大值为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 6.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，G，E分别为A1B1，CC1的中点，D，F分别为线段AC，AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为(　　) A.[，1) B.[，1] C.(，1) D.[，1) 1.(多选)(2021·新高考全国卷Ⅰ)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　) A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B.当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值 C.当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D.当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 2.(2018·全国课标卷Ⅱ)在长方体ABC