作业(十五)　函数的极值、最值与导数-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

　函数的极值、最值与导数 1.极值点与导数为0的点的关系 (1)导数为0的点不一定是极值点.如函数f(x)＝x3在x＝0处的导数是0，但它不是极值点.对于可导函数，极值点的导数必是0.因此，对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件. (2)函数的导数不存在的点也可能是极值点，如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)，f′(x)＝－1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，x＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在. 2.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x). (2)求方程f′(x)＝0的根. (3)检查f′(x)在方程的根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 特别注意：f′(x)无意义的点也要讨论.即可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. 3.函数最值存在的确定 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 4.求函数最大(小)值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值. (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较得最值. 1.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A.f(x)在[－2，－1]上是增函数 B.当x＝－1时，f(x)取得极小值 C.f(x)在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数 D.当x＝3时，f(x)取得极小值 2.函数f(x)＝x3＋x2－2x＋5的极大值为(　　) A.　　 B. C. D.6 3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是(　　) A.a＋b＋c B.3a＋4b＋c C.3a＋2b D.c 4.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为(　　) A.[0，1) B.(0，1) C.(－1，1) D. 1.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　) A.(－1，2) B.(－3，6) C.(－∞，－3)∪(6，＋∞) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 2.若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　) A.－5 B.7 C.10 D.－19 3.已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.m≥ B.m＞ C.m≤ D.m＜ 4.动直线x＝m(m＞0)与函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln x的图象分别交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　) A.＋ln 2 B.3ln 2 C.＋ln 2 D.3－ln 2 5.某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左、右两端均为半球形，其半径为r.若其表面积为S，则当胶囊的体积V取最大值时，r＝________(用S表示). 6.已知正数x，y满足yln x＋yln y＝ex，求xy－2x的最小值. 1.(2023·全国乙卷·文)函数f＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 3.(2022·全国甲卷·理)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A.－1 B.－ C. D.1 4.(2022·全国甲卷·理)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 易错一　忽略函数的定义域致错 [示例1]　函数f(x)＝2x2－ln x的极值点为(　　) A.0，，－ B.，－ C. D.－ 研究函数，要坚持定义域优先的原则，否则极易出错.　 易错二　误把导数为零作为函数取得极值的充要条件 [示例2]　已知函数f(x)＝x3－3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝(　　) A.2 B.7 C.2或7 D.3或9 根据函数极值的定义可知，当可导函数在某点取得极值时，f′(x)＝0一定成立，但当f′(x)＝0