作业(十四)　函数的单调性与导数-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

函数的单调性与导数 1.一般地，在某个区间(a，b)内，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)有如下关系： 导数 函数的单调性 如果f′(x)＞0 那么f(x)在(a，b)上单调递增 如果f′(x)＜0 那么f(x)在(a，b)上单调递减 上述结论反过来不成立. 2.判断函数y＝f(x)单调性的步骤 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求出导数f′(x)的零点； 第三步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正、负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 1.如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(－2，1)上单调递增 B.函数f(x)在区间(1，3)上单调递减 C.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增 D.函数f(x)在区间(－3，－2)上单调递增 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 3.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A.(0，1)　　 B.(0，1)∪(－∞，－1) C.(－∞，1) D.(－∞，＋∞) 4.函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，－3)和(1，＋∞) D.(－3，1) 1.若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(－∞，＋∞)内递增的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内不单调的是(　　) A.y＝sin x B.y＝xe2 C.y＝x3－x D.y＝ln x－x 3.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 4.若f(x)＝，e＜a＜b，则(　　) A.f(a)＞f(b)　 B.f(a)＝f(b) C.f(a)＜f(b) D.f(a)f(b)＞1 5.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，满足tan x·f′(x)＞f(x)，a＝f，b＝f，c＝f，则下列大小关系正确的是(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a 6.已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0). (1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间. 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 2.(2023·全国乙卷·理)设a∈，若函数f＝ax＋x在上单调递增，则a的取值范围是________. 易错一　忽略函数的定义域 [示例1]　函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________. 先求出函数f(x)的定义域，再由f′(x)＞0，f′(x)＜0求出函数的单调区间.　 易错二　忽略导函数为零 [示例2]　若函数f(x)＝x2＋在内是增函数，则实数a的取值范围是________. 根据函数单调性求参数范围或最值时，应由f′(x)≥0或f′(x)≤0求解.　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业(十四)　函数的单调性与导数 【基础演练】 1.C　2.D　3.A　4.D 【综合演练】 1.A　2.ACD　3.C　4.A 5.A　根据题意，tan x·f′(x)＞f(x)，即tan x·f′(x)－f(x)＞0，即·f′(x)－f(x)＞0，即·[sin x·f′(x)－cos x·f(x)]＞0，所以·′＞0，分析可得，当x∈时，cos x＞0，′＞0，当x∈时，cos x＜0，′＜0，所以函数g(x)＝在上单调递增，在上单调递减，所以＜＜，即2f＜f＜f，故a＜b＜c，故选A. 6.解析　(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝－1＋2x.由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0. (2)f′(x)＝－1＋kx＝，x∈(－1，＋∞). 当k＝0时，f′(x)＝－. 所以在区间(－1，0)上，f′(x)＞0； 在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(－1，0)，单调递减区间是(0，＋∞). 当0＜k＜1时，由f′(x)＝＝0， 得x1＝0，x2＝＞0， 所以在区间(－1，0)和上，f′(x)＞0； 在区间上，f′(x)＜0， 故f(x)的单调递增区间是(－1，0)和，单调