作业(十三)　导数的概念及其几何意义、导数的运算-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

导数的概念及其几何意义、导数的运算 1.“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”及二者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量. (2)“导函数”：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim . (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.f′(x0)＝f′(x)|x＝x0，所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数. 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x. (5)若f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝axln a. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex. (7)若f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝. (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数). (3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (4)′＝，其中g(x)≠0. 5.复合函数的求导法则 复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(　　) A.f′(x0)＝lim B.f′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－f(x0)] C.f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D.f′(x0)＝ 2.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，当d＝1 dm时，估计气球体积的瞬时变化率为(　　) A.2π　 B.π C. D. 3.y＝的导数是(　　) A.－ B.－sin x C.－ D.－ 4.过曲线y＝上一点P的切线斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的切点的坐标可能为(　　) A.(1，1) B.(－1，－1) C.(－1，1) D.(1，－1) 3.函数f(x)＝sin2的导数是(　　) A.f′(x)＝2sin B.f′(x)＝4sin C.f′(x)＝sin D.f′(x)＝2sin 4.(多选)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是(　　) A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 5.若直线y＝2x是曲线y＝x(ex－a)的切线，则a＝________. 6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，g(x)＝12x－4，若f(－1)＝0，且f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝g(x)，求实数a，b，c的值. 1.(2023·全国甲卷·文)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 2.(2022·新高考卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________. 3.(2022·新高考卷Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 易错一　不理解导数的意义致误 [示例1]　(2022·江西上饶一模)设f(x)为可导函数，且lim ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A.2 B.－1 C.1 D.－ f′(x0)＝lim (k≠0).　 易错二　混淆曲线在某