作业(三)　空间向量的应用(二)-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

空间向量的应用(二) 1.利用空间向量求空间角 设直线l，m的方向向量分别为u，v，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线夹角 l，m的夹角为θ∈，cos θ＝ 线面夹角 l，α的夹角为θ∈，sin θ＝ 面面夹角 α，β的夹角为θ∈，cos θ＝ 2.直线外一点到直线的距离 设＝a，直线l的单位方向向量为u，P∉l，A∈l，Q∈l，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 3.平面外一点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝＝. 1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150° 2.若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量为n2＝(－3，1，3)，则平面α与平面β的夹角等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A.10 B.3 C. D. 4.(2023·浙江宁波梦麟中学期中)已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A. B. C. D. 1.(2023·安徽黄山期中)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2.(2023·福建泉州月考)在四棱锥A1­ABCD中，AA1⊥平面ABCD，AA1＝4，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝60°，E是AA1的中点，则CE与平面A1AB所成的角的正切值为(　　) A. B. C. D. 3.(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值可能为(　　) A. B. C. D. 4.(2023·湖北荆门月考)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为________. 5.(2023·广东省佛山高二学业水平测试)如图所示，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，AA1＝3，∠ADB＝60°，E为BD上一点且满足BE＝3ED，M为C1D1上一点且满足D1M＝5MC1，F为A1B1的中点. (1)证明：A，E，F，M四点共面； (2)求点A到平面BDF的距离. 6.(2023·渝琼辽三省联考)如图，D为圆锥DO的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为直径，C为底面圆周上一点，四边形OAED为正方形，BC＝AC. (1)若点F在BC上，且DF∥平面ACE，请确定点F的位置并说明理由； (2)求二面角D­BC­E的余弦值. 1.(2022·全国乙卷·理)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点. (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥ABCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点. (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角DABF的正弦值. 易错一　忽视所求角的三角函数名称 [示例1]　(2023·天津实验中学期中)如图所示，在三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为________. 设直线l与平面γ形成的线面角等于α，平面γ的法向量与直线l的方向向量的夹角等于β，则α＋β＝90°或α＋(180°－β)＝90°，所以sin α＝cos β或sin α＝－cos β，故sin α＝|cos β|.解题时要注意两者之间的联系，并注意区分要求的三角函数名称.　 易错二　忽视空间角的范围 [示例2]　如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P­AC­B的大小为________，平面PAC与平面ABC的夹角的大小为________. 空间角的取值范围：①两条直线夹角的取值范围是；②异面直线的夹角的取