作业(二)　空间向量的应用(一)-2023年新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

空间向量的应用(一) 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.在空间给出一点A和直线l的方向向量a，则直线l被唯一确定，可用集合表示为{P|＝λa，λ∈R}. (2)平面的法向量 若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 2.用直线的方向向量、平面的法向量判定线面位置关系 设直线l，m的方向向量分别为μ，v，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l∥m⇔μ∥v⇔μ＝λv，λ∈R 线面平行 l∥α⇔μ⊥n1⇔μ·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2，λ∈R 线线垂直 l⊥m⇔μ⊥v⇔μ·v＝0 线面垂直 l⊥α⇔μ∥n1⇔μ＝λn1，λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 1.(多选)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A.(2，1，3)　　　　　 B.(4，1，6) C. D.(2，－4，－2) 2.(多选)(2023·广东肇庆鼎湖中学高二月考)已知A(0，0，0)，B(0，0，1)，C(1，1，0)在平面α内，则平面α的法向量可以是(　　) A.n＝(1，1，0) B.n＝(1，－1，0) C.n＝(－1，1，0) D.n＝(－1，－1，0) 3.若直线l的方向向量为a＝，平面β的法向量为b＝(－1，0，－2)，则(　　) A.l∥β B.l⊥β C.l⊂β D.l与β斜交 4.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A.－103 B.6 C.－6 D.103 1.(2023·辽宁沈阳回民中学期中)已知直线l的一个方向向量为a＝(－3，2，5)，平面α的一个法向量为b＝(1，x，－1)，若l∥α，则x＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2023·佛山一中高二月考)已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的一个法向量为n＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，则(　　) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α与平面ABC相交但不垂直 D.以上均不可能 3.(多选)(2023·北京师范大学蚌埠附属学校期中)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是(　　) A.对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B.对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R D.当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1 4.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形，且以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系.若在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个法向量n＝________，EG＝________. 5.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.求证： (1)直线EE1∥平面FCC1； (2)平面ADD1A1∥平面FCC1. 6.(2023·安徽安庆一中高二上检测)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2. (1)求证：A1E⊥平面BCDE； (2)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 1.(2023·新课标Ⅰ卷节选)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.证明：B2C2∥A2D2. 2.(2022·全国甲卷节选)在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.证明：BD⊥PA. 易错一　忽视线面平行的隐含条件而致误 [示例1]　如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝4，点E，F分别在AD，CP上，且DE＝DA，CF＝CP.证明：EF∥平面ABP.