人教版2023-2024学年八年级数学上册期末专项训练：完全平方公式在几何图形中的应用（附答案）

人教版2023-2024学年八年级数学上册期末专项训练 完全平方公式在几何图形中的应用 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积（只需列式即可）． 方法一：__________________________； 方法二：__________________________． 由此可得，，之间的等量关系是：___________________________． (2)解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 2．把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积． (1)如下图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式 ． (2)若图中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和． 3．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）； (2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张． 4．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式． (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________． (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若满足，可设，，则．则_________． (3)如图3，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 5．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1： ；方法2： ． (2)请你直接写出三个代数式：，，ab之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 6．现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图1，图2，请用含，的式子分别表示出图形1，2的面积，得到等量关系式： 图1：______________________； 图2：______________________； (2)若，求的值； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 7．［阅读理解]数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．    例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． [类比探究] （1）如图②是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； ［解决问题]（2）若，直接写出代数式的值，并求的值； ［拓展应用]（3）已知m，n为实数，，求的值． 8．用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题． (1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为__________． (2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张． (3)如图③，已知点P为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两个正方形的面积之和为，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积． 9．我们知道：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，已知图1可以得到，请解答下列问题： (1)直接写出图2所表示的数学等式 ． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若，，则 ． (3)如果一个正整数能表示