第06讲 矩形（3大考点+9种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第06讲 矩形 1.经历探索矩形的概念与性质的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法. 2.知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想. 一．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 三．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 题型一：利用矩形的性质求线段长 一、填空题 1．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为 ．    2．（2023下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，F是边上的一点，，E是边的中点，平分，则的长是 ．    二、解答题 3．（2022下·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形中，点E在上，平分．    (1)是否为等腰三角形？为什么？ (2)若，，求长． 4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 题型二：利用矩形的性质求角度 一、填空题 1．（2023下·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形的位置，旋转角为，若，则 ．    2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，且，若，则 ．    3．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，若，则 °．    二、解答题 4．（2023下·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 题型三：利用矩形的性质证明 一、解答题 1．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，矩形中，E、F分别为边和上的点，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 2．（2023下·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在矩形中，为上两点，且．求证：． 3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：； (2)求的长． 题型四：利用矩形的性质求面积 一、单选题 1．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 二、填空题 2．（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）小明同学在数学兴趣活动课上用图1的“七巧板”，设计拼成了图2的飞船，则飞船模型面积与矩形框的面积之比为 ． 三、解答题 3．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 4．（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在矩形中，点E在边上，将此矩形沿折叠，点D落在点F处，连接，B、F、E三点恰好在一直线上． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求矩形的面积． 题型五：利用矩形的定义判定矩形 1．（2022下·