15.3.2分式方程的应用 第二课时（教案）2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十五章 分式 ·15.3分式方程· 15.3.2分式方程的应用 第二课时 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 本节课的主要内容是解含字母的方程及综合应用题.学生在前面已经学习了解分式方程和解分式方程的应用，对于本节课能够较好的掌握，但考虑到八年级的学生好奇心较重，教师可适当利用这点，让学生自主探究知识点. 二、教学目标 1．会解含字母的方程. 2．能够熟练掌握解分式方程的应用. 三、重点难点 【教学重点】 解含字母的方程． 【教学难点】 解分式方程中的综合性应用题. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 引入新课】 问题1：什么是分式方程？ 师生活动：学生独立思考并作答. 问题2：解分式方程的步骤是什么？ 师生活动：学生独立思考，请一位学生回答结果. 问题3：解分式方程+=1. 师生活动：学生独立计算，请一位学生在黑板上解答.教师提出增根的概念，并让全班交流，如果分式方程中有增根，应该怎样解题.教师教师顺势引入本节课的课题——解含字母的分式方程. 设计意图：对前面所学知识做归纳总结，为学生进一步学习作铺垫. 第二环节 【合作交流 探索新知】 问题1：若方程-2 =有增根，则m的值为多少？ 师生活动：学生尝试回答，教师根据学生的回答情况进行评价，教师板演. 解：方程两边都乘以x-3，得到整式方程x-2(x-3)= m， ∵ 原分式方程有增根， ∴ x-3 = 0， 即x = 3. 将x = 3 代入整式方程x-2(x-3)= m， 解得m = 3． 归纳出根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤： （1）把分式方程化为整式方程； （2）令最简公分母为 0，求出未知数的值； （3）把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值. 问题2：若关于x的分式方程+3 =无解，则实数m的值为多少？ 师生活动：学生独立思考，形成思路后，由学生上黑板解答. 解：方程两边都乘以x-1，得到整式方程 7+3(x-1) = mx， 整理，得(m-3)x = 4. 当整式方程无解时，m-3 = 0，解得m = 3； 当整式方程(m-3)x = 4 的解为分式方程的增根时，x = 1， ∴ m-3 = 4，即m = 7. ∴ m的值为 3 或 7. 教师引导学生归纳出根据分式方程无解求字母参数的值的一般步骤： （1）把分式方程化为整式方程； （2）分类讨论：①当整式方程无解时，令一次项系数为 0，求出字母参数的值； ②当整式方程的解为分式方程的增根时，令最简公分母为 0，求出未知数的值，把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值. 问题3：当m为何值时，关于x的方程= -的解为负数？ 师生活动：出示问题后请一位学生到黑板上解答，并说明理由. 解：方程两边都乘以(x+1)(x-2)，得 m = x2-2x-x2+1， 解得x = . 由该分式方程的解为负数，得 ＜ 0 且≠-1 且≠2， 解得m＞1 且m≠3. 故当m＞1 且m≠3 时，关于x的方程= -的解是负数. 归纳出由分式方程的解是正数还是负数求分式方程中字母的取值范围的方法： （1）先把分式方程去分母并求出方程的解； （2）再列出不等式（组）求出字母的取值范围. 设计意图：主体活动，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验. 第三环节 【应用迁移 巩固提高】 例1．已知= 3与= 5 的解相同，求m的值？ 例2．已知关于x的分式方程：-1 =． （1）当a = 5 时，求此方程的解； （2）当a为何值时，方程的解为正数，请说明理由； （3）当a为何值时，方程无解，请说明理由． 例3．（2019秋•香坊区期末）为改善交通拥堵状况，我市进行了大规模的道路桥梁建设．已知某路段乙工程队单独完成所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的 1.5 倍，如果按甲工程队单独工作 20 天，再由乙工程队单独工作 30 天的方案施工，这样就完成了此路段的． （1）求甲，乙工程队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲工程队每天的施工费用是 2 万元，乙工程队每天的施工费用为 1.2 万元，要使该项目的工程费不超过 114 万元，则需要改变施工方案，但甲乙两个工程队不能同时施工，乙工程队最少施工多少天才能完成此项工程？ 设计意图：通过例题对本节课有初步认识，巩固所学知识. 【答案】 例1.解：= 3， 去分母得：x+1 = 3x-3， 移项合并得：2x = 4， 解得：x = 2，经检验x = 2 是原方程的解， 由题意可知两个方程的解相同， 把x = 2 代入第二个方程得= 5， 解得：m = 10． 例2.解：分式方程去分母得：x2+2x-x2-x+2 = a， 整理得：x+2 = a． （1）当a = 5 时，x+2 =