2024年中考数学高频考点专项练习——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点专项练习——圆的切线的证明 1．如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线． 2．如图，AB是的直径，点F在上，∠BAF的平分线AE交于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是的切线； 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长． 4．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，射线BO交AC于E点．交⊙O于D点，P是射线BD上一点，且CP=CB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）当=时，求证：PC=PE． 5．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AC＝2，AD＝4，求AB的长． 7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF． （1）若CD=2，AF=3，求⊙O的周长； （2）求证：直线BE是⊙O的切线． 9．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠B=30°，CD=4，求线段AB的长． 10．已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ．求证： 是 的切线． 11．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，BE=1，求∠BAC的度数．（精确到0.1度） 12．如图，AB为⊙O直径，D为BC弧的中点，DE⊥AC于E， （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）已知：CE=2，DE=4，求⊙O的半径． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 14．已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AF=3，BC=8，求AE的长． 15．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值． 16．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 17．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长． 18．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 答案 1．证明：连接OC， ∵OA=OB，CA=CB， ∴△OAB是等腰三角形， 又OC是底边AB上的中线， ∴OC⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． 2．解：连接OE， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵AE平分∠BAF， ∴∠OAE=∠DAE， ∴∠OEA=∠EAD， ∴OE∥AD， ∵ED⊥AF， ∴OE⊥DE， ∴CD是⊙O的切线． 3．解：（1）连接OE． ∵OE=OB， ∴∠OBE=∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠EBC， ∴∠EBC=∠OEB， ∴OE