重难点05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】 【新高考专用】 【题型1 函数切线问题】 3 【题型2 导数中函数的单调性问题】 3 【题型3 导数中函数的极值问题】 4 【题型4 导数中函数的最值问题】 5 【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 5 【题型6 利用导数解不等式】 6 【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 6 【题型8 任意存在性问题】 6 【题型9 函数零点嵌套问题】 7 【题型10 双变量问题】 8 导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想. 从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解． 【知识点1 切线方程的求法】 1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3.根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】 1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2.根据函数极值求参数的一般思路： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方 程组，利用待定系数法求解. 3.利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【知识点4 导数的综合应用】 1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略 (1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧 ①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． ②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置． ③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (2)已知函数零点个数求参数的常用方法 ①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． ②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略 恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题． 如果无法