9.3 向量基本定理及坐标表示（十三大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．3 向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 （1）能解释正交分解的含义，会举出正交分解的实例，能分析平面向量正交分解与平面向量基本定理的内在联系． （2）能在平面向量坐标表示的基础上，得出平面向量的和、差、数乘运算的坐标表示，并进行相关的计算． （3）能用坐标表示平面向量的数量积，会进行坐标表示下的平面向量数量积的运算；能描述两个平面向量夹角的含义，会用坐标表示向量的模与夹角． （4）能用坐标表示向量共线的条件，并会用其判断两个向量是否共线；能用坐标表示向量垂直的条件，并会用其判断两个向量是否垂直；体会数形结合的思想． （5）在探究平面向量基本定理和坐标表示的过程中，感悟联系的观点，体会转化与化归的思想，能说出用向量法解决几何问题的基本路径，体会用向量语言、向量方法表述和解决问题的简捷性． （1）理解平面向量基本定理及其意义． （2）会运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题． （3）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． （4）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． （5）能用坐标表示平面向量的数量积和两个平面向量的夹角． （6）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【即学即练1】（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 知识点02 平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    知识点03 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，