14.3.5 因式分解的应用 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 ·14.3因式分解· 第五课时 因式分解的应用 教案 班级： 课时： 课型： 一、学情分析 在本节课之前学生已基本掌握因式分解的各种方法，因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用.本节课要求学生能够灵活的运用提公因式法、公式法和十字相乘法来解决问题. 2、 教学目标 1.综合运用提公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法分解因式； 2.灵活运用因式分解的方法将多项式恒等变形． 三、重点难点 【教学重点】 能够综合运用多种方法分解因式． 【教学难点】 灵活运用因式分解法将多项式恒等变形. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 巩固基础】 1.师：我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法：ma+mb+mc = m(a+b+c)； 运用公式法：a2-b2 = (a+b)(a-b)； a2±2ab+b2 = (a±b)2； 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q). 设计意图：通过复习所学的因式分解的方法，避免学生遗忘知识点，同时为本节课做铺垫. 第二环节 【应用迁移 巩固提高】 例1：把下列多项式因式分解： （1）y2-x2+10x-25；（2）a2-9b2+a-3b； （3）x3-x2+x-1；（4）ax-bx-ay+by． 例2.利用因式分解求代数式的值： （1）已知x+y = 4，xy = 3，求代数式x2y+xy2的值． （2）已知a+b = 5，ab = 6，求多项式a3b+2a2b2+ab3的值． （3）a，b满足a(a+1)-(a2+2b)= 1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值. 例3.利用因式分解解决几何问题 已知：a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2b-a2c+b3-b2c = 0，试判断三角形的形状. 设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对因式分解的综合运用能力，巩固基础. 【答案】 例1.解：（1）原式 = y2-(x2-10x+25) = y2-(x-5)2 = (y+x-5)(y-x+5)； （2）原式 = (a+3b)(a-3b)+(a-3b) = (a-3b)(a+3b+1)； （3）原式 = x2(x-1)+(x-1) =(x2+1)(x-1)； （4）原式 = x(a-b)-y(a-b) =(a-b)(x-y)． 例2.解：（1）x2y+xy2 = xy(x+y) = 12. （2）a3b+2a2b2+ab3 = ab(a2+2ab+b2) = ab(a+b)2 = 150. （3）a(a+1)-(a2+2b)= 1， a2+a-a2-2b = 1， a-2b = 1， a2-4ab+4b2-2a+4b =(a-2b)2-2(a-2b) =(a-2b)(a-2b-2)， ∵ a-2b = 1， ∴ 原式 = 1×(1-2)= -1. 例3.解：∵ a2b-a2c+b3-b2c = 0， ∴ a2(b-c)+b2(b-c)= 0， ∴ (a2+b2)(b-c)= 0. ∵ a，b，c为△ABC的三边长， ∴ a2+b2≠0， ∴ b-c = 0， ∴ b = c， ∴ △ABC是等腰三角形. 第三环节 【随堂练习 巩固新知】 1.（2020秋•襄汾县期末）把x2-y2+2y-1 分解因式结果正确的是（ ） A．(x+y+1)(x-y-1) B．(x+y-1)(x-y+1) C．(x+y-1)(x+y+1) D．(x-y+1)(x+y+1) 2.（2020秋•昆明期末）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ） A．-a2+b2 B．-a2-b2 C．a3-3a2+2a D．a2-2ab+b2-1 3．（2019秋•雨花区校级期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1 分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将 3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱学 B．爱广益 C．我爱广益 D．广益数学 4. （2020春•开福区校级月考）若实数x满足x2-2x-1 = 0，则2x3-7x2+4x-2017 的值为（ ） A．2019 B．-2019 C．2020 D．-2020