14.3.4 因式分解——十字相乘法 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 ·14.3因式分解· 第四课时 十字相乘法 教案 班级： 课时： 课型： 一、学情分析 十字相乘法作为一种比较特殊的因式分解方法，同为整式乘法的逆运算，在初中阶段常运用于解一元二次方程.通过培养学生的转化思维和类比思想，使得学生能够更快捷的化简式子. 2、 教学目标 1．进一步理解因式分解与整式乘法的互逆关系； 2．会用十字相乘法进行二次三项式x2+(p+q)x+pq的因式分解． 三、重点难点 【教学重点】 能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+(p+q)x+pq的因式分解． 【教学难点】 在x2+(p+q)x+pq分解因式时，准确找出p、q. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 引入新课】 1.师：我们已经学习了哪些因式分解的方法？ （答案）提公因式法: mɑ+mb+mc = m(ɑ+b+c) 运用公式法: ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b) ɑ2±2ɑb+b2 = (ɑ±b)2 2.观察式子x2+5x+6和x2-3x-4，让学生运用所学知识尝试因式分解. 设计意图：回顾所学的因式分解方法，帮助学生梳理旧知识，同时引出新知识. 第二环节 【合作交流 探索新知】 1. 计算下列式子. (1)(x+2)(x+3)； (2)(x-4)(x+1)； （答案）解：(1)原式 = x2+3x+2x+2×3 = x2+5x+6 (2)原式= x2+x-4x+(-4)×1=x2-3x-4 2.观察1中的两个式子，他们的乘积和式子之间有什么联系呢？能否运用数字语言表达出来呢？学生已小组为单位进行探讨，培养学生的逆向思维能力. 3.有的学生类比前面所学因式分解方法提出猜想：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，师生共同验证. (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq= x2+(p+q)x+pq. 所以(x+p)(x+q)可以逆变形成为x2+(p+q)x+pq. 4.老师抛出问题：对于这种多项式分解如何找出p、q？引发学生思考，接着进一步讲解十字分解法. 5.通过观察分析式子x2+(p+q)x+pq首尾项和中间项是否存在关系，发现刚好构成一个十字相乘图. 6.十字相乘法步骤：①竖分二次项系数； ②竖分常数项；③交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 7.通过观察下面四个式子，师生共同探讨十字相乘法符号之间的关系. 8.x2+ax+b = (x+p)(x+q)其中a、b、p、q之间的符号关系： 当b＞0 时，b分解的因数p、q同号，且p、q符号与a符号相同； 当b＜0 时，b分解的因数p、q异号，其中绝对值较大的因数符号与a符号相同. 设计意图：通过观察分析所给出的两个式子和乘积之间的关系，培养学生之间的合作交流能力.由一般到特殊之间发现规律，师生共同推导出十字相乘法的步骤，和观察出a、b、p、q之间的符号关系. 第三环节 【应用迁移 巩固提高】 例1：分解因式： (1)x2+7x+10； (2)x2-2x-15. 例2.因式分解: (1)-x2-6x+16； (2)2x2-2x-4. 例3. 因式分解 (1)(x+y)2-4(x+y)-5；(2)(m+n)2-5(m+n)+6. 设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对十字相乘法运用的熟练程度，巩固基础. 【答案】 例1.解：（1）原式 = (x+2)(x+5)； （2）原式 = (x+3)(x-5). 例2.解：（1）原式 = -(x2+6x-16) = -(x+8)(x-2)； （2）原式 = 2(x2-x-2) = 2(x-2)(x+1). 例3.（1）原式= (x+y+1)(x+y-5)； （2）原式= (m+n-2)(m+n-3). 第四环节 【随堂练习 巩固新知】 1.将代数式x2+4x-5 因式分解的结果为（ ） A．(x+5)(x-1) B．(x-5)(x+1) C．(x+5)(x+1) D．(x-5)(x-1) 2. （2020秋•南岗区校级期中）如果x2+5x-6 = (x+k)(x+6)，则k的值为（ ） A．1 B．5 C．-1 D．-5 3．（2019春•大丰区期中）因式分解的结果是(x-3)(x-4)的多项式是（ ） A．x2-7x-12 B．x2+7x+12 C．x2-7x+12 D．x2+7x-12 4.（2019秋•泰山区期中）若x2+px+q = (x+3)(x-5)，则p、q的值分别为（ ） A．-15，-2