13.3.4含有30°角的直角三角形的性质教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称 ·13.3.4含30°角的直角三角形的性质· 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 本课是在学生学习了轴对称图形和等边三角形有关知识的基础上探究含30°角的直角的性质定理和应用，是前面所学知识的应用与延伸.它在教材中处于非常重要的地位，是今后证明边倍数关系的重要工具，起着承前启后的作用. 二、教学目标 1．探究并证明含30°角的直角三角形的性质. 2．会应用含30°角的直角三角形的性质进行有关的计算和证明． 三、重点难点 【教学重点】 含 30°角的直角三角形的性质及应用． 【教学难点】 含 30°角的直角三角形性质的探究. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 引入新课】 旧知准备： 1.在等边△ABC中，AB = AC = BC ，∠A = ∠ B = ∠ C = 60 °. 2.已知△ABC，（1）∠A = ∠ B = ∠ C ， ∴ △ ABC是等边三角形. （2） AB = AC，∠A = 60°(答案不唯一) ， ∴ △ ABC是等边三角形. 活动探究： 如图，将两个含 30°角的三角尺摆出在一起.问：△ABD是什么三角形？ 学生独立思考，认为ABD是一个等边三角形，并做出如下证明： ∵ △ADC是△ABC的轴对称图形， ∴ AB = AD，∠BAD = 2×30°= 60°， ∴ △ABD是一个等边三角形. 教师提问：借助这个图形，你能找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 学生发现：BC = AB. 师生尝试用文字表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 师：你能证明这个结论吗？ 设计意图：通过问题形式回顾旧知，促使学生温故知新，同时为新课应用判定作铺垫. 第二环节 【合作交流 探索新知】 学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索过程中发现解决问题的关键，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，学生独立思考，尝试用不同的方法证明，感受不同的辅助线的作法及用处. 证明一： 已知：如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC =AB． 证明：在△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠BAC = 30°， ∴ ∠B = 60°． 延长BC到D，使BD = AB，连接AD， 则△ABD是等边三角形． 由等边三角形的性质可知， AC是BD边上的中线， ∴ BC =BD =AB. 证明2： 证明：在BA上截取BD = BC，连接CD. ∵ ∠B = 60°，BD = BC， ∴ △BCD是等边三角形， ∴ ∠BDC = 60°，BD = DC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠DCA = ∠BDC-∠A = 60°-30° = 30°= ∠A， ∴ AD = DC， ∴ AD = BD = BC， ∴ AB = AD+BD = 2BC. ∴ BC =AB. 证明3： 证明：作△ABC的角平分线BD，过点D作DE⊥AB于E. ∵ BD平分∠ABC，且DE⊥AB， ∴ DE = DC，∠ABD =×60° = 30°. ∴ ∠ABD = ∠A，∴ AD = BD， ∴ Rt△BDC≌Rt△BDE（HL）， 同理Rt△ADE≌Rt△BDE（HL）， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE+BE = 2BC. ∴ BC =AB. 师生归纳含 30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠B = 30°， ∴ AC =AB. 设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳得出含30°角的直角三角形的性质，知道怎样学习数学，发展学生推理证明能力. 第三环节 【应用迁移 巩固提高】 例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30°.立柱BC、DE要多长？ 例2.（2019秋•大同期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD = 3，求BD的长． 例3.某市打算在一块如下图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A = 150°，这种草皮每平方米售价a元，求购买这种草皮至少需要多少元？ 设计意图：通过例题的教学，培养学生的逻辑思维，提高对新学知识活学活用的