13.1.2线段的垂直平分线的性质 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称 ·13.1.2 线段的垂直平分线的性质· 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 学生在上一课时的探究中，得出了线段的垂直平分线的概念，对其性质有初步的认识，但未利用公理及其推导出的定理进行证明，因此不够严谨.垂直平分线的性质定理在日后学习几何图形的研究中占据一定的地位，因此要求学生理解并掌握. 二、教学目标 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理. 2.会利用线段的垂直平分线的性质和判定进行简单的推理． 三、重点难点 【教学重点】 线段垂直平分线的性质和判定及其应用． 【教学难点】 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定进行推理. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 引入新课】 师生共同回顾旧知： 如果一个平面图形沿一条直线 折叠 ，直线两旁的部分能够 互相重合 ，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的 对称轴 . 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线（成轴）对称 .这条直线叫做 对称轴 ，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点 . 设计意图：通过复习轴对称的有关知识，为本课的学习做好知识储备，减小学习难度. 第二环节 【合作交流 探索新知】 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？ 学生独立思考，发现P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B. 因此得出猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 师生共同求证： 求证：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB.点P在l上. 求证：PA=PB. 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 归纳：线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 符号语言： ∵AC=BC，l⊥AB，点P在l上， ∴PA=PB. 师：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.（教师引导学生类比前面的探究证明这个猜想） 如图，若PA=PB，你能说明点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 证明：过点P作PC⊥AB于C， ∴∠PCA=∠PCB=90°. 在Rt△PAC和Rt△PBC中， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=CB. ∴直线PC垂直平分线段AB， 即，点P在线段AB的垂直平分线上. 通过证明可以得到： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 师生归纳总结： 师：角的平分线和线段的垂直平分线有什么区别？（学生积极发言） 设计意图：通过观察、思考，让学生自主探究出垂直平分线的定义，在教师的指引下，学生动手实践分析总结出图形轴对称的性质，推理得到线段垂直平分线的性质的判定，展现以学生为主体的教学理念. 第三环节 【应用迁移 巩固提高】 例1.如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直分线吗？并说明理由. 例2.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 例3.如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长. 设计意图：通过例题的教学，让学生能够运用所学知识解决问题，激发学生学习的积极性. 【答案】 例1.解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC， ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 例2.已知：直线AB和AB外一点C.(如图) 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧， 交AB于点D和点E. （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线． 例3.解：∵ 点E在BA的垂直平分线上， ∴ AE=BE. ∵ △BCE的周长=BC+CE+BE=50， ∴ BC+CE+AE=BC+AC=50. ∵ AC=27， ∴ BC=23. 第四环节 【随堂练习 巩固新知】 1.（2019秋•蓝山县期中）下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　） A．1个