12.3.2角的平分线的判定 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 ·12.3角平分线的性质· 第二课时 角平分线的判定 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 通过上节课的学习，学生已经掌握角的平分线的性质，本节课是在此基础上，利用全等三角形的知识继续探究角的平分性的性质的逆定理，为学习证明两个角相等开辟新的解题思路. 二、教学目标 1．掌握角的平分线的判定定理. 2．会用角的平分线的性质和判定进行有关推理论证. 三、重点难点 【教学重点】 角的平分线的判定的证明及运用. 【教学难点】 灵活应用角的平分线的性质和判定进行推理论证. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 引入新课】 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，请用符号语言表述角的平分线的性质. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE. 3.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处 500 m.这个集贸市场应建在何处（比例尺为1：20000）？ 学生独立思考，教师揭示课题——本节课我们学习角的平分线的判定. 设计意图：通过复习上节课知识，巩固学生基础，减小本课学习难度，同时提出情境问题，引起学生好奇心，认真投入课堂. 第二环节 【合作交流 探索新知】 师：上节课我们学习了角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，我们可以说到角的两边的距离相等的点在角的平分线上？ 学生自由发言，有的说可以，有的说不可以. 于是教师提出：我们可以猜想角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，并对其进行推理验证，看看猜想是否正确. 教师引导学生进行几何命题的论证： 求证：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD = PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠ODP =∠OEP = 90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中， ∴ Rt△ODP≌Rt△OEP (HL). ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线. 通过探究，发现猜想正确，师生进行概括： 角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定） 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ OC平分∠AOB. 师：现在你们能求出这个集贸市场应建于何处了吗？ 学生在练习本上进行作图.教师选取个别学生的结果进行展示. 然后师生进行归纳，角的平分线的性质与角的平分线的判定之间的区别： 设计意图：本环节通过学生自主探究，推理论证，得到角的平分线的逆定理，锻炼了学生语言组织能力和推理论证能力，让学生对知识掌握更加牢固. 第三环节 【应用迁移 巩固提高】 例1.如图所示，BE = CF，BF⊥AC于点F.CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D.求证：AD平分∠BAC. 例2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上. 例3.（2019·西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，CD = CB，∠ABC+∠ADC = 180°，过C作CE⊥AB于E.求证：AC平分∠BAD. 设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生对角的平分线的判定及其应用有深刻的认知，等利用新课知识解决问题. 【答案】 例1.证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB， ∴ ∠DEB =∠DFC = 90°. 在△BDE和△CDF中， ∴ △BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE = DF. ∴ AD平分∠BAC. 例2.证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足， ∵ CF是∠BCE的平分线，FP⊥AE，FM⊥BC， ∴ FP = FM． 又∵ BF是∠CBD的平分线，FM⊥BC， FN⊥AD， ∴ FM = FN. ∴ FP = FN． ∴ 点F在∠DAE的平分线上． 例3.证明：作CF⊥AD，交AD的延长线于F. ∵ ∠CDF+∠ADC = 180°，∠ABC+∠ADC = 180°， ∴ ∠CDF =∠B， 即∠EBC =∠CDF. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴ ∠CEB =∠CFD = 90°. 在△CFD和△CEB中， ∴ △CFD≌△CEB(AAS). ∴ CF = CE. ∵ CF⊥AD，CE⊥AB，CF = CE， ∴ AC平分∠BAD. 第四环节 【随堂练习 巩固新知】 1.如图，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若PE = PD，则（　　） A．∠BAP＞∠CAP B．∠BAP =