12.3.1角的平分线的性质 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 ·12.3角平分线的性质· 第一课时 角平分线的性质 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 本节内容是全等三角形知识的运用和延续，在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的.本课主要讲解角的平分线的性质，为学生学习证明线段相等开辟新的思路，为今后学习圆的内心等知识做铺垫. 二、教学目标 1.会用尺规作已知角的平分线. 2.能证明角的平分线的性质. 3.能用角的平分线的性质进行推理论证. 三、重点难点 【教学重点】 角的平分线的性质的证明及运用. 【教学难点】 运用角的平分线的性质解决相关问题. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 巩固基础】 师：什么是角的平分线？ 从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 师：什么是点到直线的距离？ 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 如图，OP的长度为点P到直线AB的距离. 设计意图：通过提出问题，学生对问题进行思考，回顾已学知识，进而较小新课的学习难度. 第二环节 【创设情境 引入新课】 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？ 学生自主探究，用量角器测量，或将纸对折. 教师追问：量角器侧脸存在误差，但是如果把纸片换为木板，像这样没法折的角，该怎么办呢？ 学生独立思考，教师揭示课题，今天我们来学习角的平分线的性质. 设计意图：通过情境问题，引发学生思考，提高学习的积极性. 第三环节 【合作交流 探索新知】 探究1： 如图，是一个平分角的仪器，其中AB = AD，BC = DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ 教师启发学生将实际问题抽象成数学模型，斌运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理. 证明：在△ACD和△ACB中， ∴ △ACD≌△ACB(SSS). ∴ ∠DAC =∠BAC. ∴ AC平分∠DAB(角平分线的定义). 教师追问：通过刚才的分角仪，你能想到怎样画一个角的平分线吗？ 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线 （仅用尺规作图）. 师生活动：学生在练习本上画出∠AOB，自行尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线，教师结合PPT展示作图，师生归纳具体方法. 1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. 2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. 3.画射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线. 教师提问：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？（引导学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据.） 探究2： 在刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你有什么发现？ 学生通过测量得到：PD = PE. 教师让学生在OC上再取多几个点试一试，通过动手操作，观察比较，学生猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 首先教师引导学生分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成：“如果...那么...”的形式，然后逐步引导学生进行推理论证. 求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE. 师生共同概括证明一个几何命题的步骤： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号标志已知和求证； 3.经过分析，找到由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 最后，师生共同归纳角平分线的性质定理. 1.内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 注意：（1）角的平分线；（2）点在平分线上；（3）垂直距离. 2.符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE. 设计意图：充分发挥学生主体作用，激发学生独立自主学习，积极思考问题，参加课堂的探究，培养学生主动探究的精神. 第四环节 【应用迁移 巩固提高】 例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 例2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB = FC. 例3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：