解答题-2024届高三数学二轮复习数列题型专练

（7）解答题 ——2024届高考数学二轮复习数列题型专练【配套新教材】 1.已知是等差数列，若，. （1）求的通项公式； （2）证明是等差数列. 2.已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列. （2）求数列的通项公式. 3.已知数列为等差数列. （1），，求； （2）若，求. 4.在数列中，，，. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和. 5.已知等差数列中，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2），求数列的前n项和. 6.设是数列的前n项和，已知，. （1）求，； （2）令，求. 7.已知各项为正的数列的首项为2，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和，求数列(其中)前n项和的最小值. 8.已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记为的前n项和，证明:. 9.在数列中，，当时，其前n项和满足. (1)求证：是等差数列； (2)设，求的前n项和. 10.已知是数列的前项和，且满足， （1）记，求证:数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和 11.记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，求的前2n项和. 12.数列的前n项和， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 13.已知等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设，的前n项和分别为，.若的公差为整数，且，求. 14.在数列中，，，数列是公比为的等比数列. （1）求使成立的q的取值范围； （2）求数列的前项的和. 答案以及解析 1.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）设等差数列的公差为d，，， 所以， （2）因为 所以是公差为的等差数列 2.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为，所以. 所以. 又， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，所以. 3.答案：（1） （2）72 解析：（1）设公差为d， 由，解得，所以， （2）因为，所以. 4.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）证明： 又 数列是首项为、公比为的等比数列； （2）由（1）可知，即， . 5.答案：（1） （2） 解析：（1）因为为等差数列，设公差为d， 又因为，，成等比数列，即， 即，解得， 所以. （2）， 所以. 6.答案：（1）， （2） 解析：（1）由，得，即， ，即， 又，所以，. （2）当时，， 当时，， 两式相加可得，所以 . 因为， 所以. 7.答案：（1） （2）最小值为 解析：（1）因为， 所以有，而，， 所以，则， 又，，∴，由等差数列定义知数列是以2为首项，4为公差的等差数列. 数列的通项公式为. （2）由（1）有，， 令，有；，有；，有.所以前n项和的最小值为，当且仅当，3时取到. 8.答案：（1）； （2）证明见解析. 解析：（1）设等比数列的公比为q， 因为，所以， 又因为数列为各项均为正数的等比数列，所以， 所以或(舍)， 又因为，所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，所以，， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以. 9.答案：(1)证明见解析； (2) 解析：（1）证明：当时，， ，即： ，又 数列是以1为首项，2为公差的等差数列 （2）由（1）知： 10.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1） 当时，，解得. 当时，，两式子相减得， ，即 可以得到，即 又， 数列是一个以1为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）可知，，而 故， 11.答案：（1） （2） 解析：（1）由是公差为的等差数列，且，则， 即，当时，，两式相减可得：， 整理可得，故， 将代入上式，，故的通项公式为. （2）由，则. 12.答案：(1) (2) 解析：（1）因为， 所以当时，，所以， 当时，， 所以， 整理可得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）有，所以， 方法一：， ， 错位相减可得：， 所以. 方法二：， 令，则， 所以， 所以. 13.答案：（1）或() （2）当n为正偶数时，，当n为正奇数时， 解析：（1）设等差数列的公差为d， ，， ，，成等比，， 即，得，解得或， 当时，； 当时，； 或(). （2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得， 所以，则， . ①当n为偶数时 . ②当n为奇数时 . 所以当n为正偶数时，，当n为正奇数时，. 14.答案：（1） （2） 解析：（1）因为数列是公比为q的等比数列， 所以. 又， 所以， 所以，即，解得， 故q的取值范围为. （2）因为数列是公比为q的等比数列， 所以，即，这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q.又，， 所以当时， ； 当时，