作业(十四)　向量基本定理、坐标表示及应用-2023年新教材高一数学寒假假期作业（人教B版）

向量基本定理、坐标表示及应用 1.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 2.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 3.向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 4.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2＝x2y1. 5.平面向量的坐标运算法则：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标 λa＝(λx1，λy1) 向量的 坐标表 示、两 点间距 离公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝||＝ 6.中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝. [常用结论] 1.设a＝(x，y)，则|a|＝. 2.设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为. 1.若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则等于(　　) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2) D.(2,2) 2.已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是(　　) A.(2,1) B.(－6，－3) C.(－1,2) D.(－4，－8) 3.(2023·株洲联考)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是(　　) A.e1＋e2,2e1＋2e2 B.e1－2e2，－e1＋e2 C.－e1＋e2，－e1－e2 D.2e1＋3e2，e1＋e2 4.已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16).则a＝________，b＝________. 1.(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 2.(2023·石室中学校考阶段练习)在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD相交于点E，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 3.若平面向量a＝(－1,2)与b反向，且|b|＝3，则b的坐标为(　　) A.(3，－6) B.(－3,6) C.(6，－3) D.(－6,3) 4.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　) A.(－6,21) B.(－2,7) C.(6，－21) D.(2，－7) 5.(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A.－2 B. C.1 D.－1 6.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长为________. 1.(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 易错一　对平面向量基本定理理解有误 [示例1]　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D.若＝m＋n，求m＋n的取值范围. 对平面内任意一点O，点D与点A，B共线的充要条件为＝t＋(1－t)，即，的系数和等于1.求型如＝m＋n中参数的值，可通过用辅助线构造与向量共线且满足A，B，D共线的向量，求解＝k，可得参数的值.　 易错二　不善于建立平面直角坐标系 [示例2]　已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b 对于网格中的向量问题及用向量法解决平面几何问题，常通过建立平面直角坐标系求解.　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业(十四)　向量基本定理、坐标表示及应用 [基础演练] 1.A　∵＝＋，∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6). 2.D　＝(1,2)，而(－4，－