作业(十三)　平面向量及其线性运算-2023年新教材高一数学寒假假期作业（人教B版）

平面向量及其线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量.向量的大小叫做向量的模(或长度). (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，其方向是任意的. (3)单位向量：模等于1的向量. (4)平行(或共线)向量：方向相同或相反的非零向量. (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量. (6)相反向量：给定一个向量，把与这个向量大小相等、方向相反的向量称为它的相反向量. 2.向量的加法与减法 (1)加法 ①法则：服从三角形法则和平行四边形法则. ②性质：a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0+a＝a. (2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则. 3.数乘向量 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (3)运算律：设λ，μ∈R，则 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. [常用结论] 1.若D点是△ABC的边BC的中点，则A＝(A＋A). 2.若D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则D＝B. 3.若G为△ABC的重心，O为平面内任一点，则O＝(O＋＋)，若重心G与O重合，则O＋O＋O＝0. 1.(多选)下列命题正确的是(　　) A.单位向量的模都相等 B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 2.已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D.2＝ 3.如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 4.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 1.已知平面内一点P及△ABC，若P＋＋P＝A，则点P与△ABC的位置关系是(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上 C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部 2.已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　) A.λ＝0 B.e2＝0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ＝0 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C.若a＝b，b＝c，则a＝c D.若a∥b，b∥c，则a∥c 4.(多选)已知4－3＝，则下列结论正确的是(　　) A.A，B，C，D四点共线 B.C，B，D三点共线 C.||＝|| D.||＝3|| 5.若|A|＝8，|A|＝5，则|B|的取值范围是________. 6.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 1.(2022·新高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 2.(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A.2－ B.2－ C.2＋ D.2＋ 易错一　概念不清致误 [示例1]　下列结论正确的有________.(只填序号) (1)向量可用有向线段表示，所以向量就是有向线段. (2)λa＝0，则a＝0. (3)∥，则A，B，C，D四点不一定共线. (4)a∥b，b∥c，则a∥c. 本例涉及到平面向量四个方面的易错问题，一定要在理解的基础上把握好.　 易错二　忽视三点共线的充要条件 [示例2]　已知A，B，P是直线l上的三个相异点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足4＝2x＋y，则＋的最小值为________. 共线向量定理：向量a与非零向量b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使a＝λb. 推论：当A，B，P三点共线于直线l，O∉l，则＝m＋n，且m＋n＝1.　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业(十三)　平面向量及其线性运算 [基础演练] 1.AD　单位向量的模均为1，故A正确；共线包括同向和反向，故B不正确；向量不能比较大小，故C不正确；由相等向量的概念知，D正确. 2.A　∵在△ABC中，D为边BC的中点， ∴＋＝2，∴2(＋)＝0， 即＋＝0，则＝. 3.D　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 4.解析　由已知得3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案　4b