作业(七)　幂函数、函数的应用(一)-2023年新教材高一数学寒假假期作业（人教B版）

幂函数、函数的应用(一) 1.幂函数 定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 常见五 种幂函 数的图象 性质 幂函数在(0，＋∞)上都有定义 当α>0时，图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增 当α<0时，图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减 2.函数的应用 (1)已知函数模型的应用问题. (2)根据已知条件建立函数模型. 1.(2023·沧州一中高一期中)下列函数是幂函数的是(　　) A.y＝2x　 B.y＝x2－1 C.y＝x3 D.y＝|x| 2.(2023·成都外国语学校高一期中)幂函数y＝x的大致图象是(　　) 3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝ 其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A.15 B.40 C.25 D.130 4.(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，则(　　) A.α＝ B.函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C.函数f(x)为偶函数 D.若x>1，则f(x)>1 1.(多选)使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的α的值可以是(　　) A.－1 B. C.1 D.3 2.已知幂函数y＝xα的图象过点，则函数y1＝(x2－2x＋4)α与函数y2＝(－3)α的大小关系为(　　) A.y1≤y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1>y2 3.(2023·北京师大附中高一上期中)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，C为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么C和A的值分别是(　　) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 4.(多选)(2023·西安八十三中高一月考)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为(　　) 5.(2023·安徽阜阳一中高一检测)不等式(2x＋1)<(x－3)的解集为________. 6.(2023·山东青岛二中期中)某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y＝－70x＋10 000.已知该生产线的年产量最大为220吨，且能全部售出. (1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本； (2)若每吨产品的出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？ 1.(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是(　　) A.y＝x－1 B.y＝x－ C.y＝x D.y＝x 2.(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 3.(2023·上海卷)已知函数f(x)＝(a，c∈R). (1)当a＝0时，是否存在c，使得f(x)为奇函数？ (2)若函数f(x)的图象过点(1,3)，且f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，求c的值及a的取值范围. 易错一　不理解幂函数概念致误 [示例1]　已知幂函数f(x)＝(n2－n－1)·xn2＋3n的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A.－2 B.－1 C.2 D.－1或2 幂函数y＝xα(α为常数)应同时满足三个条件： (1)系数为1； (2)底数为单自变量； (3)指数为常数.　 易错二　忽视对底数的讨论而致误 [示例2]　若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围. 利用幂函数的性质解不等式时，先画出对应幂函数的图象，然后再用其性质解不等式，可避免讨论不全面，出现遗漏.　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业(七)　幂函数、函数的应用(一) [基础演练] 1.C　形如y＝xα的函数为幂函数，则y＝x3为幂函数.故选C. 2.A　由y＝x＝，可知x≥0，随着自变量的增大，函数值不断增大，故选A. 3.C　若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意.故拟录用25人.故选C. 4.AD　由题意得4α＝2，则α＝，故A正确；f(x)＝x，则函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)为非奇非偶函数，故B，C错误；当x>1时，f(x)>f(1)＝1，故D正确.故选AD. [综合演练] 1.CD　当α＝－1时，y＝x－1，定义域为{x