专题07 导数压轴题热点突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题07 导数压轴题 热点研究 专题热度 ★★★★☆ 命题热点 (1)嵌套函数、函数零点、恒成立与存在问题、同构、极值点偏移、隐零点、整数解、凹凸函数、特殊距离、极值与最值的含参问题． (2)不等式的证明和参数范围问题． 热门方法 构造法、等价转化法、放缩法． 热点题型 解答题． 热点突破 热点1 函数同构问题 名师点拨 1．在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构． 2．同构一般用在方程、不等式、函数零点、反函数等相关问题中，用好同构，需要较强的观察能力和一定的解题经验． 3．常见同构体：；；；；；． 【例1】（2023•渭南二模）已知lnx﹣ex≤λx﹣ln（1﹣λ），x∈（0，+∞）恒成立，则λ的取值范围是（　　） A．[1﹣e，+∞） B．[1﹣e，1） C．[e﹣2，1） D．[0，1） 【答案】B 【分析】把原不等式化为ln[（1﹣λ）x]+eln[（1﹣λ）x]≤ex+x，再构造函数g（x）＝ex+x，利用函数的单调性以及分离常数法，结合导数求得λ的取值范围． 【解答】解：由lnx﹣ex≤λx﹣ln（1﹣λ），得lnx+ln（1﹣λ）≤ex+λx， 所以lnx+ln（1﹣λ）≤ex+x+（λ﹣1）x， 所以ln[（1﹣λ）x]+（1﹣λ）x≤ex+x，即ln[（1﹣λ）x]+eln[（1﹣λ）x]≤ex+x． 构造函数g（x）＝ex+x，所以g{ln[（1﹣λ）x]}≤g（x）． 因为g'（x）＝ex+1＞0，所以g（x）单调递增． 所以ln[（1﹣λ）x]≤x．所以（1﹣λ）x≤ex，即， 记，所以1﹣λ≤h（x）min， 又因为，所以h（x）在（0，1），h'（x）＜0，h（x）单减； 在区间（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增． 所以h（x）min＝h（1）＝e．所以0＜1﹣λ≤e，解得1﹣e≤λ＜1， 所以λ的取值范围是[1﹣e，1）． 故选：B． 【例2】（2023•四川模拟）已知函数f（x），g（x），若存在x1＞0，x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＜0成立，则x1x2的最小值为　 　． 【答案】． 【分析】把f（x1）＝g（x2）＜0转化为，即可得到 ，所以 ，构造函数 h（x）＝xex（x＜0），进而可求得x1x2的最小值． 【解答】解：函数 f（x） 的定义域为 ， ∴当 x∈（0，e） 时，f′（x）＞0，f（x）单增， 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单减， 又 f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；x∈（e，+∞）时，f（x）＞0，同时注意到 ， 所以若存在 x1∈（0，+∞），x2∈R，使得 f（x1）＝g（x2）＜0 成立， 则 0＜x1＜1 且 ，所以 ，所以 ， 所以构造函数 h（x）＝xex（x＜0），而 h′（x）＝ex（1+x）， 当 x∈（﹣1，0）时，h′（x）＞0，h（x） 单调递增； 当 x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＜0，h（x） 单调递减， 所以 ，即 ． 故答案为：． 【例3】（2023•辽宁一模）已知函数，若f（x）≤0恒成立，则a的取值范围为　 　． 【答案】． 【分析】f（x）≤0⇔e﹣x+lnx﹣a（﹣x+lnx）≤0，令t＝﹣x+lnx＝g（x），x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性可得t的范围，f（x）≤0转化为et﹣at≤0，即a，令h（t），t≤﹣1，利用导数研究其单调性即可得出a的取值范围． 【解答】解：f（x）≤0⇔e﹣x+lnx﹣a（﹣x+lnx）≤0， 令t＝﹣x+lnx＝g（x），x∈（0，+∞），则g′（x）＝﹣1． 当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0． ∴x＝1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）＝﹣1．∴t≤﹣1． f（x）≤0转化为et﹣at≤0，即a． 令h（t），t≤﹣1，则h′（t）0， ∴函数h（t）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，∴h（t）≥h（﹣1）， 故a的取值范围为． 故答案为：． 热点2 极值点偏移问题 名师点拨 1．函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题． 2．解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数． 【例4】（2023•成都模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围是　 　；若不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，则t的取值范围是　 　． 【答案】0＜a，（﹣∞，﹣1