专题02 函数的性质热线突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题02 函数的性质 热点研究 专题热度 ★★★☆☆ 命题热点 (1)函数的奇偶性、单调性、周期性． (2)函数的最值、对称轴、对称中心． 热门方法 图象法、基本不等式法、配方法、数形结合法． 热点题型 选择题、多选题，解答题中往往也伴随着函数的性质． 热点突破 热点1 单调性 名师点拨 1．若或，则是单调增函数． 2．若或，则是单调减函数． 3．奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性——同增异减． 【例1】（2023•秀英区校级二模）若函数f（x）在R上是单调函数，则a的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣x2+2a为单调递增函数，然后根据分段函数f（x）的单调性建立不等式组，由此即可求解． 【解答】解：因为当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣x2+2a为单调递增函数， 又函数f（x）在R上是单调函数，则需满足，解得0＜a， 所以实数a的范围为（0，]， 则满足范围的选项是选项B， 故选：B． 【例2】（2023•平谷区一模）下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　） A．f（x）＝x2﹣|x| B． C．f（x）＝e|x| D．f（x）＝|lnx| 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：对于A，由题意可知f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣|﹣x|＝x2﹣|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数且在（0，+∞）上不是单调递减，不符合题意；故A错误； 对于B，由题意可知f（x）的定义域为{x|x≠0}，，所以f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减，符合题意；故B正确； 对于C，由题意可知f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝e|﹣x|＝e|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增；不符合题意；故C错误； 对于D，f（x）＝|lnx|的定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；故D错误； 故选：B． 【例3】（多选）（2023•唐县校级二模）已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（　　） A．若a＝1，则f（x）为奇函数 B．若a＝﹣1，则f（x）为偶函数 C．若f（x）具备奇偶性，则a＝﹣1或a＝0 D．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为[﹣1，+∞） 【答案】BCD 【分析】根据奇偶函数的性质依次判断ABC选项，根据，结合复合函数单调性得在（0，+∞）上单调递增，再根据导数求解即可． 【解答】解：若a＝1，，则e2x﹣e﹣x＞0，解得x＞0，故f（x）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，即A错误； 若a＝﹣1，，定义域为R，满足f（﹣x）＝f（x），故为偶函数，即B正确； 当a＝﹣1时，由B知f（x）为偶函数，当a＝0时，知为奇函数，即C正确； 由题知，，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则函数在（0，+∞）上单调递增，则在（0，+∞）恒成立，即e3x+a≥0在（0，+∞）恒成立，解得a≥﹣1，即D正确． 故选：BCD． 热点2 最值 名师点拨 1．单调性法是求函数最值的通法． 2．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等． 【例4】（2023•龙华区校级模拟）已知函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且f（f（x）﹣x﹣log2x）＝5，则f（x）在[1，8]上的值域为（　　） A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13] 【答案】D 【分析】由题意设f（x）﹣x﹣log2x＝m，则f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5，然后令x＝m，得到log2m＝5﹣2m，由此求出m的值，进而求出函数f（x）的解析式，根据函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求解． 【解答】解：由题意设f（x）﹣x﹣log2x＝m，则f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5， 所以m+log2m+m＝5，即log2m＝5﹣2m，解得m＝2， 所以f（x）＝x+log2x+2，x∈[1，8]， 因为函数y＝x，y＝log2x都为单调递增函数，所以函数f（x）在[1，8]上单调递增， 则当x＝1时，f（x）min＝1+0+2＝3，当x＝8时，f（x）max＝8+3+2＝13， 所以函数f（x）的值域为[3，13]， 故选：D． 【例5】（2023•泰州模拟）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）+ex是偶函数，y＝f（x）﹣3ex是奇函数，则f（x）的最小值为（　　） A．e B． C． D．2e 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数f（x）的解析