11.2.2直角三角形的性质与判定 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 ·11.2与三角形有关的角· 第二课时 直角三角形的性质与判定 教案 班级： 课时： 课型： 1、 学情分析 本课是在学生学习了三角形边的一些性质的基础上，进一步探究直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具备一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊的性质.同时，本课对日后学习直角三角形的其他性质和判定也奠定了一定的基础. 二、教学目标 1.探索并掌握直角三角形的两个锐角之间的关系； 2.掌握直角三角形的判定； 3.会运用直角三角形性质和判定进行相关计算. 三、重点难点 【教学重点】 掌握直角三角形的性质和判定. 【教学难点】 直角三角形性质与判定的综合运用. 四、教学过程设计 第一环节 【复习旧知 巩固基础】 1.求出下列各图中x的值. 设计意图：通过求角的度数，复习了上节课的内容，巩固学生基础. 第二环节 【创设情境 引入新课】 探究直角三角形的性质 在△ABC 中，若∠C = 90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？ 学生进行求解. 由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C = 180°， 已知∠C = 90°， 即∠A+∠B+90°= 180°， 所以∠A+∠B = 90°. 师： 利用上面的结果，你能得出什么结论？ 学生小组内交流，猜想：直角三角形的两个锐角互余. 符号语言： ∵ △ABC是直角三角形，且∠C = 90°， ∴ ∠A+∠B = 90°. 教师提出：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 设计意图：通过探究，引导学生用已学知识发现“新知”，激发学生学习兴趣. 第三环节 【合作交流 探索新知】 探究一： （1）如图1，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 教师与学生共同探究，适当引导学生，得到猜想：∠ACD =∠B. 教师引导学生用已学知识对其进行严格求证，培养学生的推理论证能力. 理由：∵ CD⊥AB，∴ ∠BDC = 90°. ∴ ∠B+∠BCD = 90°. 又∵ ∠ACB = 90°， ∴ ∠ACD+∠BCD = 90°. ∴ ∠ACD =∠B. （同角的余角相等） 师：∠BCD与∠A也有相等关系吗？（学生在练习本上进行论证，教师巡视课堂，适当点拨学生）. 探究二： （2）如图2，∠C =∠D = 90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？ 学生仔细观察，小组内交流，猜想：∠CAE =∠DBE. 理由：在Rt△ACE中，∠CAE = 90°-∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE = 90°-∠BED. ∵ ∠AEC =∠BED， ∴ ∠CAE =∠DBE. 探究三：直角三角形的判定. 教师提出：通过前面的探究，我们知道如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由. （3）在△ABC中，若∠A+∠B = 90°，你能判断它是什么三角形吗？请说出判断的依据. 学生小组内讨论，判断： △ABC是直角三角形. 师生共同证明： ∵ ∠A+∠B = 90° ， ∴ ∠C = 180°-(∠A+∠B)= 90°. ∴ △ABC是直角三角形(直角三角形的定义). 文字表述： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号语言： 在△ABC中， ∵ ∠A+∠B = 90°， ∴ △ABC是直角三角形. 设计意图：通过共同探究直角三角形的性质与判定，培养学生的推理论证能力，锻炼学生的逻辑思维. 第四环节 【应用迁移 巩固提高】 例1.已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数. 例2.（1）在△ABC中，若∠A:∠B:∠C = 1:2:3，那么三角形是直角三角形吗？ （2）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ACD = ∠B.求证：△CDB是直角三角形. 例3.如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 54°，∠ADC = 72°.求证：AD平分∠BAC. 设计意图：让学生学会应用直角三角形的性质与判定定理解决问题，促进学生进一步巩固对直角三角形的理解. 【答案】 例1.这两个锐角的度数分别为54°，36°. 例2.（1）设∠A为x，∠B为2x，∠C为3x. ∴ x+2x+3x = 180°， 解得：∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°. ∴ △ABC为直角三角形. （2）∵ ∠ACB = 90°， ∴ ∠ACD+∠DCB = 90°. ∵ ∠ACD =∠B， ∴ ∠B+∠DCB = 90°， ∴ △CDB为直角三角形. 例3.∵ ∠C = 90°， ∴ ∠BAC+∠B = 90°，∠CAD+∠ADC = 90°，