27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆（教学课件）数学华东师大版九年级下册

第二十七章 圆 27.2.3 与圆有关的位置关系 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 2023-2024学年华师版九下数学教学课件 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）　　　　　 目标导航 目标导航 探究 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 切线长定理及应用 P 1. 切线长的定义： 圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． A O ① 切线是直线，不能度量； ② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长. 讲授新课 问题 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B． OB 是☉O 的一条半径吗？ PB 是☉O 的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB 有何关系？ ∠APO 和∠BPO 有何关系？ O P A B *切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB 几何语言： 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 要点归纳 B P O A O. P 已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL). ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 推理验证 A B ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M 思考： O P A B 思考：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连结 CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵ PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB. ∵ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB ( S. A. S. ). ∴ AC = BC. 新的结论：CA = CB. O. P A B C 注意：如图27.2-21 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论：(1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP； (3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD； (6)AC = BC等. 例1 如图27.2-22，PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，点D 在PA 上，点E 在PB 上. (1)若PA=10，求△ PDE 的周长； 解：∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C， ∴ PB=PA=10，DA=DC，EC=EB. ∴ PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+ PB=10+10=20. ∴△ PDE 的周长为20. (2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数. 解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB. ∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线， ∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE. ∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°. ∴∠ AOB=180°－50°=130°. 易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE， ∴∠ DOE=∠ AOB=×130°=65°. 1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) 70° 85° 80° 100° 1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点E，交PA，PB 于点C，D. 若⊙ O 的半径为2，△ PCD 的周长等于4 ，则线段AB 的长是________. 三角形的内切圆及