专题07 向量的应用（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题07 向量的应用 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 3、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 · 考点剖析 考点1 利用向量证明线段证明 【例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【变式1-1】（2023·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． （1）求重心E的坐标； （2）用向量法证明：． 【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M. （1）设，，用，表示，； （2）猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【变式1-3】（2023·河南信阳·高一校联考期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 考点2 利用向量证明线段平行 【例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 【变式2-1】（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 【变式2-2】（2023·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线． （1）求的最小值． （2）若点满足，证明：． 【变式2-3】（2023·广东·高二校联考阶段练习）如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. 考点3 用向量求线段长度 【例3】（2023·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则 . 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【变式3-3】（2023·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，. （1）求的长； （2）求的长. 考点4 用向量求几何夹角 【例4】（2023·江苏·高一专题练习）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（