3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019)必修第一册

授课教师 授课年级 高一 授课内容 3.2.1 单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标 1. 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； 2. 会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养； 3.在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 教学重点 函数单调性的概念、判断． 教学难点 归纳单调性的符号语言定义的过程. 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引入语：通过前面的学习，我们已经知道函数是描述事物变化规律的数学模型，如果把握了函数的变化规律，那么就基本把握了相应事物的变化规律. 而把握事物的变化规律对我们的生产生活有着非常重要的价值．所以我们需要研究相应函数的变化规律. 这里的“函数变化规律”就是我们今天要学习的函数的性质. 总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律． 设计意图：通过引入语，让学生明白为什么要学习函数的性质. 问题1：请看下面的函数图象，它们各自都有什么特点，从中能发现哪些变化规律？ 师生活动：学生观察图象并回答问题．教师引导学生说出升降变化特点并总结完善学生的回答，告诉学生函数图象所反映的这些特点就是函数的（局部）性质．这节课我们主要讨论函数图像从左到右升降变化这一性质——也就是函数的单调性. 追问：在初中我们已经学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，并且研究了他们的性质，我们是借助什么来研究它们的性质呢？回顾一下初中的知识，描述图象从左到右的升降变化，随的增大是如何变化的？这样的特征用数学语言如何描述? 师生活动：学生回答图像的升降变化，教师注意引导学生用区间的概念来表述图像的变化规律，说出函数在哪个区间上具有怎样的单调性，借此强调函数的单调性是相对于某个区间而言的，是函数的局部性质. 同时引出本节课的重点内容. 概念形成 问题2：以熟悉的函数为例，我们知道在区间上，随的增大而增大．请问你是怎样理解“随的增大而增大”的？如何用符号语言表示？你能说说它的数量特征吗？ 师生活动：学生思考，教师进行引导，“随的增大而增大”,即增大，也增大. 那增大怎么用符号语言去表示呢？增大又怎么表示呢？小组之间相互讨论. 设计意图：从刻画数量特征的角度对单调性进行描述，促使学生深入思考单调性从定性描述转向定量刻画． 若学生思考有困难，可继续如下追问： 追问1：观察下表，你能给出具体的描述吗？ … 0 1 2 2.5 2.51 … … 0 1 4 6.25 6.3001 … 师生活动：学生描述表格中具体数值的变化规律，即：当从0增大到1，函数值从0增大到1；当从1增大到2，函数值从1增大到4；当从2增大到2.5，函数值从4增大到6.25；当从2.5增大到2.51，函数值从6.25增大到6.3001；…… 追问2：这样的变化过程能写的完吗？你能用一般符号归纳上述具体数值变化的共同点吗？ 师生活动：教师引导学生，在这个区间上的点有无穷多个，这是一个无限的问题，对于这样的问题，我们可以借助字母去表示（可类比函数的定义中，定义域是无限集的处理方式：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照确定的对应关系，都有唯一确定的数和它对应，那么就称A→B为从集合A到集合B的一个函数，记, .）. 因为我们这里要研究图像的变化趋势，是函数值的比较的过程，所以需要借助两个字母. 从而得到当时，有. 追问3：这里对，有什么要求？能否说在某个区间上只要满足“当时，有成立”这个条件就能说明函数在这个区间上是单调递增的？你能举例说明吗？ 师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出反例进行说明，要让学生明确，应该是区间上的任意的数对，． 追问4：那如何进行修正呢？ 师生活动：学生尝试修正，教师总结完善：对任意的，，当时，有. 教师总结：我们借助数学符号语言，用字母表示了数的任意性，用“任意”刻画“无限”，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取，，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量． 追问5：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间上，随的增大而减小”的符号语言刻画吗？ 设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间上，当增大时，相应的随之增大”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量． 设计意图：