专题09 极值点偏移加法型、减法型、乘积型、平方和型、倒数和型（解答题五类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题09 导数压轴大题二：极值点偏移 函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数． 极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方和型及倒数和型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力， 一．极值点偏移加法型的一般题设形式： 1．若函数存在两个零点，且，求证：（为函数的极值点）； 2．若函数中存在，且满足，求证：（为函数的极值点）； 3．若函数存在两个零点，且，令，求证：； 4．若函数中存在，且满足，令，求证：． 二．证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 三．极值点偏移加法型判定方法与证明 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏． 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略． 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 题型一 极值点偏移加法型 1．已知函数． （1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，求证：． 2．已知为常数，函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 3．已知函数，a为实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：． 4．已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当函数仅有两个零点，时. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 练习题： 1．已知函数，是常数． (1)求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点； (2)证明：时，设、是的两个零点，且． 2．已知函数(且)． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点、()，且，证明：． 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 4．设(e为自然对数的底数)，． (I)记，讨论函数单调性； (II)令，若函数G(x)有两个零点． (i)求参数a的取值范围； (ii)设的两个零点，证明． 题型二 极佳点偏移减法型 1． 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若，，是的两个零点.证明： （i）； （ii）. 2．有两个零点． (1)时，求的范围； (2)且时，求证：． 3．已知函数，（其中是自然对数的底数） (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：. 4．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若且，证明：，； （3）记方程的三个实根为，，，若，证明：. 练习题： 1．已知函数（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)当时，在点处的切线方程为，设方程有两个实数根，求证： （i）； （ii）. 2．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 3．已知函数f(x)＝lnx+1，是f(x)的导函数． (1)令函数，求g(x)的最小值； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实根x1，x2． ①写出实数a的取值范围（不需要证明）； ②证明：|x2﹣x1|＞﹣1． 4．已知函数. （1）若在定义域上不单调，求的取值范围； （2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围. 题型三 极值点偏移 乘积型 1．已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 2．已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 3．已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：