专题07 同构法比较大小、极值点讨论、导数求立体几何最值 (选填三类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题07 选填压轴三：同构法比较大小、极值点讨论、导数求立体几何最值（学生版） 1． 同构法比较大小常用八个函数 我们由三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求出函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线. 函数 图像 函数 图像 函数 图像 函数 图像 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式恒成立问题、证明不等式等． ①指对各一边，参数是关键； ②常用八个“母函数”：，……； ③凑同构，凑常数、、参数； ④复合函数比大小，利用单调性求参数范围． 八大函数中一些函数的证明或记忆方法： 1．，对应不等式 证明：设，则，当时，，当时，，∴，即，当且仅当时取等号，得证. 图形表示：如图9，在处的切线方程为. 图9 2．，对应不等式 证明：设，则，当时，，当时，，∴，即，当且仅当时取等号，得证． 图形表示：如图10，在处的切线方程为． 图10 二、极值点的讨论 函数在某区间D上有n个极值点，，等价于导函数在区间D上有n个不同解，一般再用参变分离，转换成图像交点问题即可. 函数在某区间上有２个极值点，，等价于导函数在区间上有２个不同解，用不了参变分离时，转换成二次函数与ｘ轴交点问题即可. 二次函数根与系数的关系可以先画图，根据实际情况考虑下边五个量： １、开口向上；开口向下； ２、有两个不等实数根，； 有两个相等的实数根，； 无实根，． ３、对称轴； ４、讨论区间端点与的正负； ５、韦达定理 三、几何中求面积、体积的最值 一般地，分析题意，有双变量，找出几何体中对应的边角的关系，运用面积、体积公式，用代入法化简，将双变量变为单变量问题，涉及到三次方或四次方等高次函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 题型一 同构法比较大小 1．设，，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 练习题： 1．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则有（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 题型二 极值点讨论 1．若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为 ． 3．（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 4．已知有两个极值点，，若，则关于x的方程的实根个数不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知存在两个极小值点，则的取值范围是 . 练习题： 1．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知为常数，函数有两个极值点，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D． 3．若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是 . 4．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是 . 5．设函数在区间上有极大值点，则的取值范围是 ． 题型三 导数求立体几何最值 1．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（    ） A． B． C． D． 2.已知四面体，且，则四面体体积最大时，其外接球的表面积为 . 3．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）        A．2 B． C． D． 4．(多选)在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，下列说法正确的有（    ） A．该正四棱台的高为2 B．该正四棱台的体积为224 C．平面截该正四棱台的截面面积是 D．该正四棱