2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（特殊四边形） 1．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且.点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作，射线ET交线段OB于点F. (1) 求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标； (4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2．抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)求证：为定值； (3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y=﹣x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． （1）求点A和点B的坐标； （2）求证：四边形DECF是矩形； （3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线． 直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在x轴上，且和的面积相等时，求m的值； (3)求证：当四边形是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变． 5．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点． （1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标； （2）求证：四边形PMDA是平行四边形； （3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标． 6．如图①，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）． （1）当m=﹣1，n=4时，k=______，b=_____；当m=﹣2，n=3时，k=______，b=_____； （2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论； （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED． ①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）； ②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为___________；当四边形AOED为正方形时，m=______，n=______． 7．如图，正方形ABCD，点P为对角线AC上一个动点，Q为CD边上一点，且 （1）求证：PB=PQ； （2）若BC+CQ=8，求四边形VCQP的面积； （3）设AP=x，ABCD的面积为y，且CQ=2，求y与x的函数关系式. 8．如图，已知抛物线图象经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点（不与、重合），过点分别作交于，交于． ①求证：四边形是矩形； ②连接，线段的长是否存在最小值，若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点． （1）请直接写出点B、D的坐标：B（ ），D（ ）； （2）求抛物线的解析式； （3）求证：ED是⊙P的切线； （4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交轴于点，连接，四边形是否能构成平行四边形?如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围为_______． 11．已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为． (1)求抛物线的表达式及的顶点A的坐标； (2)抛物线与