2023-2024学年人教版数学九年级上册期末专题训练：证明题

2023-2024学年人教版数学九年级上册期末专题训练： 证明题 1．如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 2．如图是的两条弦，相交于点P，若，求证： (1)； (2)． 3．已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.    （1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）； （2）如图②，若为的中点，求证：直线是⊙的切线. 4．如图，为的直径，弦垂足为，连结，．    (1)求证：． (2)若弦，，求的半径． 5．如图，为的直径，为下方半圆上(不与点重合)的一个动点，过点作交的延长线于点点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点连接．填空： ① 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为正方形． 6．如图，，是的切线，A，B为切点，交于点C． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．已知关于x的二次函数． (1)求证：不论为任何实数，方程总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试求此抛物线的解析式； (3)若点与在（2）中抛物线上（点，不重合），且，求代数式的值． 8．如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于D．过点C作，连接AB交OP于点E． （1）求证：PB是的切线； （2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是，求阴影部分的面积； （3）若且，求AB的长度． 9．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．    (1)求证：DC=BD (2)求证：DE为⊙O的切线 10．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点， 过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E． （1）求证：CD=CE； （2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变， 求证：∠C=2∠A； （3）如图3，在（2）的条件下，若CD=6．5，AE=3，sinA=，求⊙O半径OA的长． 11．如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． (1)证明是的切线； (2)，为上一点，到弦的最大距离为8． ①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹； ②求的长． 12．如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且与交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，求出阴影部分面积． 13．已知抛物线，其中． (1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点； (2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于． ①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）； ②求证：当变化时，线段的长度恒为定值． 14．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线； （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由． 15．已知二次函数的图象经过点（2，1）． （1）求二次函数的解析式； （2）一次函数的图象与二次函数的图象交于点A（，），B（，）两点 ①当时（图①），求证：△AOB为直角三角形； ②试判断当时（图②），△AOB的形状，并证明； （3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：是等边三角形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ． （2）由（1）得：， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ． 2．（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴． 3．解:（1）∵ AB是⊙O的直径，AP是切线， ∴∠BAP=90°. 在Rt△PAB中，，， ∴. 由勾股定理，得 . (2)如图，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，    ∴，有. 在Rt△APC中，D为AP的中点， ∴. ∴.， 又∵， ∴. ∵， ∴，即， ∴直线是⊙O的切线. 4．（1）证明：是直径，， ， ， ； （2）解：，， ， 在中，， ， 连结，设半径为，    在中，， ， ， 即的半径为． 5．解：（1）连接，如图1， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， 为直径， 又∵点为的中点 ， 在和中， 是的半径． 是的切线； （2）①