2023-2024学年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册提升训练（一）

2023～2024学年高二寒假提升训练（一） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2.已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知双曲线的渐近线方程为，则实数（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 4.直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 6.已知是等差数列，且，，则（ ） A. 15 B. 26 C. 28 D. 32 7.已知双曲线的左､右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ） A.1 B. C. D.2 8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P为底面ABCD内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1＝θ2，则动点P的轨迹为(　　) A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10.已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．l2始终过定点 B．若l1∥l2，则a＝1或a＝－3 C．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2 D．当a>0时，l1始终不过第三象限 11.已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 对任意的正整数，有 D. 使得的最小正整数为4047 12.已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. ，则，，成等差数列 C. 若，，三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13. 已知直线经过两点，则点到直线的距离为______． 14.在数列中，若，，则的通项公式为______． 15. 已知圆：，直线，直线与圆交于两点，最短弦长______________. 16.已知椭圆的右焦点为F,过点F且斜率为的直线l与椭圆E交于A,B两点，与y轴交于点C,若，则椭圆E的离心率为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18.已知圆上有两个点，，且为直径. （1）求圆的方程； （2）已知，求过点且与圆相切的直线方程. 19.如图，在长方体中，，点分别为棱的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20.20.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N. （1）求抛物线C的方程； （2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程. 21.如图在四棱锥P­ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，DA⊥AB，∠PAB＝120°，PA＝AD＝AB＝1，BC＝2. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB. (2)在线段PB上是否存在点M，使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为？若存在，求出线段PM的长度；若不存在，请说明理由． 22.设椭圆的上顶点，左焦点，右焦点，左、右顶点分别为、. （1）求椭圆方程； （2）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交y轴于点Q，若的面积是面积的倍，求直线的方程； （3）如图过椭圆的上顶点K作动圆的切线分别交椭圆于M、N两点，是否存在圆使得为