2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形 1．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．      (1)直接写出顶点P的坐标；（用m表示） (2)当时，判断是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数； (3)当时，直接写出该抛物线上的好点坐标； (4)若点P在正方形内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围． 2．综合与探究： 如图，已知一次函数与二次函数的图象交点为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点C为抛物线对称轴上的一个动点，当与的和最小时，求C点的坐标； (3)若点D为抛物线位于线段下方图象上的一个动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值； (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线过点．    (1)若时，求a的值； (2)如图1，顶点M在第一象限，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且，在直线l右侧以BC为边作正方形，点E恰好在抛物线上． ①求的值； ②试判断点E和点A是否关于直线l对称？如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例． ③如图2，作直线，请说明直线CE始终在抛物线的上方（除E点外）． 4．如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点（含端点），设点的横坐标为，过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、、．    (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； (3)当的周长最小时，求点的坐标； (4)设的面积为，求出关于的函数关系式，若将“使为整数”的点记作“好点”，请直接写出所有“好点”的个数． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）经过点、．    (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为1．以为边向下作正方形． ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②当抛物线在正方形内部（包括边界）的点的纵坐标之差的最大值等于2时，直接写出m的值． 6．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．    (1)请写出抛物线的顶点坐标______；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标_____；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为______． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为． ①当四边形为正方形时，求a的值． ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围． 7．已知二次函数． (1)有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号） ①二次函数的图象开口向上； ②二次函数的图象的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． (2)当时，①抛物线的顶点坐标为______； ②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______； (3)设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 8．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)请写出抛物线的顶点坐标 　 　；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 　 　；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 　 　． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为． ①当四边形为正方形时，求a的值． ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围． 9．已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射