2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，已经抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x=2． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，P是x轴上的一点，当PA+PB的值最小时，求P的坐标以及PA+PB的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D． ①在P点的运动过程中是否存在四边形为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求点P的坐标； ②求的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．    (1)二次函数图像的对称轴为直线． ①求二次函数的表达式； ②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________； ③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A（5，0）且AB＝3OC，P为x轴上方抛物线上的动点（P不与A，B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，作PM与x轴平行，交抛物线另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设矩形PQNM的周长为C，求C的取值范围； （3）如图2，当P点与C点重合时，连接对角线PN，取PN上一点D（不与P，N重合），连接DM，作DE⊥DM，交x轴于点E． ①试求的值； ②试探求是否存在点D，使△DEN是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点D坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象记为． （1）若图象经过点，求的值； （2）若图象为轴对称图形，求的值； （3）设点，，线段与有两个交点，求的取值范围； （4）当时，函数取最小值的点有两个，直接写出的值． 6．在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点的坐标为，点的坐标为，顶点在第一象限内，抛物线（常数）的顶点为正方形对角线上一动点． （1）当抛物线经过两点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与直线相交于另一点（非抛物线顶点，且在第一象限内），求证：长是定值； （3）根据（2）的结论，取的中点，求的最小值． 7．已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 10．如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与抛物线相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m>0． (1).当m=1时，求点A，B，D的坐标； (2).当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直； (3).猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论． 11．抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． (1)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (2)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求证：． 12．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线的顶点为点A． （1）求顶点A的坐标（用含a的代数式表示）； （2）直线与抛物线G交于点M，N，若顶点A在第一象限，且点A到直线l距离的最大值为，求抛物线G的表达式； （3）在（2）的条件下，若过M，N两点分别作直线的垂线，垂足分别为点P和点Q，求证：． 13．如图,已知二次函数与x轴交于A、B两点,A在