2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值 1．如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方． (1)求与的值． (2)求线段的最大值． (3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标． 2．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式： (2)①若点P仅在线段上运动，求线段的最大值； ②若点P在x轴上运动，当为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标． 3．如图1，已知二次函数的图象与 x 轴交于点，与 y 轴交于点 C，且 ．     (1)求二次函数的解析式 (2)如图 2，过点 C 作轴交二次函数图象于点 D，P 是二次函数图象上异于点 D 的一个动点，连接，若 ，求点 P 的坐标； (3)如图 3，若点 P 是二次函数图象上位于 BC 下方的一个动点，连接交 于点 Q．设点 P 的横坐标为t，试用含 t 的代数式表示的值，并求的最大值． 4．若抛物线经过，与轴交另一点． (1)求的值； (2)如图1，当点是直线上的动点时，点，若直线平分，求点的坐标； (3)当点在对称轴右侧的抛物线上运动时，交对称轴于点，且点、关于抛物线顶点对称，连结，若点到直线的距离为，试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值和此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标． (3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标 6．如图，二次函数与x交于点A、点（点A在点B左侧），与y轴交于点． (1)求二次函数解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，轴交于交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，设点Q是直线上一点，点P关于直线的对称点为点，试探究：直线上是否存在点Q，使得点恰好落在直线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．定义：如图1，两个相似三角形，如果它们的一组对应角有公共顶点，并且它们的对应边所在直线互相垂直，那么这两个相似三角形互为“郡似三角形”，连接CE、BD，则称为“郡似比”． (1)如图1，与互为“郡似三角形”，则 ，且______，当，时，“郡似比”______． (2)如图2，抛物线与x轴交于和，点D和点F在第一象限内，点，过B作轴交抛物于点E，若与互为“郡似三角形”， ①求抛物线解析式； ②当“郡似比”时，求（）最大值； ③如图3，若，且点D在直线上，是否存在点F在抛物线上，仍然使得与互为“郡似三角形”，若不存在，请说明理由，若存在；请求出F点坐标． 9．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点．                                图⑴                                                              图⑵ (1)求这个拋物线的解析式． (2)若点是直线上方抛物线上一个动点，过作轴交直线于，过作轴交轴于，以为邻边构造矩形，求矩形周长的最大值及此时点的坐标． (3)如图（2），将线段向上平移1个单位长度，平移后的线段记作．然后将抛物线沿射线进行平移，平移的距离记为．若平移后的抛物线与线段有交点，请直接写出的取值范围． 10．如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值 (3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，