2024年中考数学高频考点突破——圆的综合

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合 1．已知：内接于，过点作直线，为非直径的弦，且是的切线 求证：； 若，，连接并延长交于点，求由弧、线段和所围成的图形的面积． 2．如图，为的直径，、是的切线，切点分别为、，过点作，交于点，交于点． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 3．如图，是的直径，是的弦，点是延长线上的一点，平分交于点．过点作，垂足为． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 4．如图，在中，，是上一点，以为圆心为半径的圆与交于点，与交于点，连接、、，且． 求证：是的切线； 若，求的半径． 5．如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点． 求证：平分； 求证：是等腰三角形． 6．如图，是的直径，、两点在上，且，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：是的切线． 若，，求图中阴影部分的面积． 7．如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点G. 求证：（1）DG⊥AG; （2）AG+CG=AB． 8．为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交于点，，作于点，交于点． 求证：是的切线； 求证：． 9．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，为上一点，连接，，交于点，且． 求证：； 若点到弦的距离为，，求的半径． 10．如图，是的直径，为上一点，，（点在外）平分． 求证：是的切线； 若、的延长线相交于点，且，，求的长． 11．如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． 求证：直线是的切线； 若，，求的长． 12．如图，⊙O的直径AB=6，∠ABC=30°，BC=6，D是线段BC的中点． （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线． 13．如图点、、、在上，弦、的延长线相交于点．若是的直径，是的中点，过作的垂线，垂足为． 求证：是圆的切线； 若，，求圆的直径． 14．如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE． （1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由； （2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，则线段AE的长为　 　． 15．如图，中，，以为直径的与边相交于点，连接，过点作的切线，交边于点，交边的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 16．已知：如图，，，点是边上一点，过点作（垂足为）交于点，且，以点为圆心，长为半径作交于点 求证：斜边是的切线； 设与相切的切点为，，，连、，求的长． 17．如图，已知是的直径，点、在上，点在外，． （1）________度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求劣弧的长． 18．如图，已知是的直径，是的弦，弦于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，． 求证：是的切线； 当点在劣弧上运动时，其他条件不变，若．求证：点是的中点； 在满足的条件下，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析；（2）. 【分析】（1）连结并延长交于，连结，由圆周角定理可知∠H=∠A，∠HCB=90°，根据切线性质可知∠OBF=90°，根据，，可证明H=∠CBF，即可证明∠A=∠CBF；（2）在Rt△HCB中，由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根据三角函数可以求出MB，而 S=S△OBM-S扇形OBC=，由此即可求出由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积． 【详解】连结并延长交于，连结，则． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵是半径，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵在中，，， ∴，． ∵， ∴． ， 故由弧、线段和所围成的图形的面积为． 【点睛】此题主要考查了切线性质、圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握定理及公式是解题关键. 2．（1）详见解析；（2）． 【分析】（1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC＝DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH＝OA，证得CD是⊙O的切线； （2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案． 【详解】解：（1）作，垂足为， ∵、是的切线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、