13.3.2含30°角的直角三角形-讲练课件-2023-2024学年 人教版 八年级数学上册

第十三章 轴对称 含30°角的直角三角形 数学（RJ）版八年级上册 ⁠ 含30°角的直角三角形的性质 1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 　一半　 ⁠． 几何语言：如图，∵AC⊥BC，∠A＝30°，∴ 　BC＝AB　 ⁠． 一半　 BC＝AB　 新课学习 解：(1)∵AB⊥AD， ∠B＝30°，AD＝4， ∴BD＝2AD＝2×4＝8. 例1 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝30°，AB⊥AD，AD＝4. (1)求BD的长； (2)求BC的长． (2)∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝∠B＝30°. ∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°. ∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°. ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－90°＝30°. ∴∠DAC＝∠C. ∴DC＝AD＝4. ∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12. 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，求BD的长． 解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°. ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°. ∴∠DAB＝∠B. ∵CD＝1，∴AD＝2CD＝2. ∵∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝2. ⁠ 含30°角的直角三角形的性质的应用 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DB＝2，求BC，AD的长． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，AB＝2BC. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. ∴∠DCB＝90°－∠B＝30°. ∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4.∴AB＝8. ∴AD＝AB－BD＝8－2＝6. 3.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D. 求证：BD＝AB. 证明：∵∠A＝30°， ∠BCA＝90°， ∴BC＝AB，∠B＝60°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. ∴∠BCD＝30°.∴BC＝2BD. ∴2BD＝AB.∴BD＝AB. ⁠ 含30°角的直角三角形的实际应用 例3 (2022·长沙)为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°. (1)求该斜坡的高度BD； 解：(1)∵∠BAD＝30°，BD⊥AD，AB＝20 m， ∴BD＝AB＝10(m)． (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线) (2)∵C，A，D三点共线，∠BAD＝30°，∠C＝15°， ∴∠ABC＝∠BAD－∠C＝15°. ∴AC＝AB＝20(m)． 答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20 m． 4.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50 m，AB＝40 m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元． 解：如图，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D. ∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°. ∵AB＝40 m，∴BD＝AB＝20(m)． ∴S△ABC＝AC·BD＝×50×20＝500(m2)． ∵这种草皮每平方米的售价是a元， ∴至少需要500a元． 答：购买这种草皮至少需要500a元． ⁠ 1．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h为 　4　 ⁠m． 第1题图 4　 基础巩固 2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下的部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为 　9　 ⁠米． 第2题图 9　 3．(2022·鄂尔多斯)如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为点C.若EC＝2，则OD的长为(　C　) A．2 B．2 C．4 D．4＋2 C 4．情景应用如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°. 解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝30°. ∴∠NAC＝∠ACB. ∴AB＝BC. ∵AB＝15×(10－8)＝30(海里)， ∴BC＝30(海里)． 答：海岛B到灯塔C的距离为30海里． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最近？ (2)如图