2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习：二次函数中的特殊三角形问题

2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习： 二次函数中的特殊三角形问题 1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点, 顶点为． （1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标； （2）将抛物线沿轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为, 点的对应点为． ①如果点落在线段上, 求的度数； ②设直线与轴正半轴交于点, 与线段交于点, 当时, 求平移后新抛物线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA =OC =3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求过A，B，C三点的圆的半径； （3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由； 4．如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标； （3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 6．已知抛物线L：y=-x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B两点的坐标及抛物线L的对称轴； (2)平移抛物线L得到新的抛物线，且抛物线过点B，点D，以A、B、D为顶点的三角形恰好与△ABC全等，求平移后的抛物线L'的表达式． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标； (3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 8．抛物线 与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线上一点，且∠DBC的角平分线在x轴上，点M是y轴上一点，若△ADM是以AD为腰的等腰三角形，求出点M的坐标． 9．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线的图象经过点，抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求出这个抛物线的解析式； (2)该抛物线的顶点为，求出点，点的坐标，并判断的形状； (3)若点是抛物线上位于直线下方的一个动点，当点运动到何位置时的面积最大？求出点坐标及最大面积． 11．如图，抛物线过两点，交y轴于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式和对称轴； (2)点D是抛物线对称轴上一动点，当是以为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标． 12．在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根（）． (1)求、两点坐标； (2)二次函数经过点和点，求此二次函数解析式； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，连接，作轴于点H，与交于点M，连接．当是以为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 14．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点是抛物线的对称轴上一